Question

如图所示，已知直三棱柱ABC–A′B′C′，AC ="AB" =AA，=2，AC，AB，AA′两两垂直，  E，F，H分别是AC，AB，BC的中点， 
（I）证明：EF⊥AH；   
（II）求平面EFC与平面BB′C′所成夹角的余弦值．

Answer 1

（Ⅰ）见解析  （Ⅱ）.

(I)证明线线垂直，可以通过证明线面垂直来解决。本小题连接,分别是的中点后，可知,这样可以通过证面,得，故.
(II)以A为原点，AB、AA`、AC所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系A-xyz，然后分别求出平面EFC和平面BB′C′的法向量，利用向量法求出二面角的余弦值
（Ⅰ）如图连接,分别是的中点,
故是的中位线，，………………2分
又由,两两垂直知，
，又面,面，则…………4分
即面,则，故.…………………………6分
（Ⅱ）如图建立空间坐标系，
,
………………………………8分

显然=0，故
不妨设面的法向量为
，
即：，
不妨令，………………10分
易知面，不妨令面的法向量为
设面与面夹角为，