Question

已知斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁，侧面ACC₁A₁与底面ABC垂直，∠ABC=90°，BC=2，AC=2

3

，且AA₁⊥A₁C，AA₁=A₁C．
（1）试判断A₁A与平面A₁BC是否垂直，并说明理由；
（2）求侧面BB₁C₁C与底面ABC所成锐二面角的余弦值．

Answer 1

分析：法一：（1）建立空间直角坐标系，求出相关向量，利用数量积=0判定A₁A与平面A₁BC是否垂直；
（2）利用平面的法向量的数量积求侧面BB₁C₁C与底面ABC所成锐二面角的余弦值．
法二：（1）利用反证法证明A₁A与平面A₁BC不垂直；
（2）利用三垂线定理，作出二面角的平面角，然后求解即可．

解答：解：解法一：如图建立空间直角坐标系，
（1）有条件知B(0，0，0)，C(0，2，0)，A(2

2

，0，0)，（1分）
由面ACC₁A₁⊥面ABC，AA₁⊥A₁C，AA₁=A₁C，知A1(

2

，1，

3

)（2分）

AA1

=(-

2

，1，

3

)，

BC

=(0，2，0)，
∵

AA1

•

BC

=2≠0（3分）
∴

AA1

与

BC

不垂直，即AA₁与BC不垂直，
∴AA₁与平面A₁BC不垂直（5分）

（2）由ACC₁A₁为平行四边形，
知

CC1

=

AA1

=(-

2

，1，

3

)（7分）
设平面BB₁C₁C的法向量

n

=(x1，y1，z1)，
由

n1 ⊥ BC n1 ⊥ CC1

，得

n1 • BC =0 n1 • CC1 =0

，即

2y1=0 - 2 x1+y1+ 3 z1=0

令x1=

3

，则y1=0，z1=

2

，得

n1

=(

3

，0

2

)（9分）
另外，平面ABC的法向量

n2

=（0，0，1）（10分）
cos＜

n1

，

n2

＞=

n1 • n2

| n1 |•| n2 |

=

2

5

=

10

5

所以侧面BB₁C₁C与底面ABC所成锐二面角的余弦值为

10

5

（12分）

解法二：（1）取AC中点D，连接A₁D，则A₁D⊥AC．
又∵侧面ACC₁A₁与底面ABC垂直，交线为AC，
∵A₁D⊥面ABC（2分）
∴A₁D⊥BC．
假设AA₁与平面A₁BC垂直，则A₁D⊥BC．
又A₁D⊥BC，由线面垂直的判定定理，
BC⊥面A₁AC，所以BC⊥AC，这样在△ABC中
有两个直角，与三角形内角和定理矛盾．假设不
成立，所以AA₁不与平面A₁BC垂直（5分）

（2）侧面BB₁C₁C与底面ABC所成的锐二面角即为侧面BB₁C₁C与A₁B₁C₁底面所成的锐二面角．
过点C作A₁C₁的垂线CE于E，则CE⊥面A₁B₁C₁，B₁C₁⊥CE．
过点E作B₁C₁的垂线EF于F，连接CF．
因为B₁C₁⊥EF，B₁C₁⊥CE，所以B₁C₁⊥面EFC，B₁C₁⊥CF
所以∠CFE即为所求侧面BB₁C₁C与地面A₁B₁C₁所成的锐二面角的平面角（9分）
由CE=

3

，EF=

2

，得CF=

5

在Rt△ABC中，cos∠CFE=

2

5

=

10

5

所以，侧面BB₁C₁C与底面ABC所成锐二面角的余弦值为

10

5

（12分）

点评：本题考查直线与直线的垂直的判定，二面角的余弦值，考查空间想象能力，逻辑思维能力，几何问题代数化，是中档题．