Question

设已知点A(3，0)，B(0，3)，C(cosα，sinα)，α∈(

π

2

，

3π

2

)．
（Ⅰ）若|

AC

|=|

BC

|，求角α的值；
（Ⅱ）若

AC

•

BC

=-1，求

2cos2α+sin2α

1+cotα

的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）解法一，依题意，由|

AC

|=|

BC

|，可求得cosα=sinα，结合题意可求得角α的值；
解法二，由|

AC

|=|

BC

|，可知点C在直线y=x上，而α∈（

π

2

，

3π

2

），可求得角α的值；
（Ⅱ）由

AC

•

BC

=-1，可求得sinα+cosα=

2

3

，将所求关系式切化弦后得

2cos2α+sin2α

1+cotα

=2sinαcosα，利用（sinα+cosα）²=1+2sinαcosα即可求得答案．

解答：解：（Ⅰ）解法一：∵A（3，0）、B（0，3）、C（cosα，sinα），
∴

AC

=（cosα-3，sinα），

BC

=（cosα，sinα-3）．  …（2分）
由|

AC

|=|

BC

|，得

(cosα-3)2+sin2α

=

cos2α+(sinα-3)2

．
即cosα=sinα．                          …（4分）
∵

π

2

＜α＜

3π

2

，
∴α=

5π

4

．…（6分）
解法二：∵|

AC

|=|

BC

|，
∴点C在直线y=x上．…（3分）
则sinα=cosα．  …（4分）
∵α∈（

π

2

，

3π

2

），
∴α=

5π

4

．…（6分）
（Ⅱ）

2cos2α+sin2α

1+cotα

=

2cos2α+2sinαcosα

1+ cosα sinα

=

2cosα(cosα+sinα)

sinα+cosα sinα

=2sinαcosα．…（8分）
由

AC

•

BC

=-1，得（cosα-3）cosα+sinα（sinα-3）=-1．…（10分）
即 sinα+cosα=

2

3

．
∴（sinα+cosα）²=1+2sinαcosα=

4

9

，即2sinαcosα=-

5

9

． …（12分）
∴

2cos2α+sin2α

1+cotα

=-

5

9

．…（13分）

点评：本题考查三角函数的恒等变换及化简求值，考查平面向量数量积的坐标运算，考查综合分析与运算的能力，属于中档题．