Question

19．是否存在这样的实数m，使函数f（x）=x²-（m-1）x+2m在区间[0，1]上有且只有一个零点？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 分类讨论：（1）当方程x²-（m-1）x+2m=0在[0，1]上有两个相等的实根时，矛盾；（2）当方程x²-（m-1）x+2m=0有两个不相等的实根时，分3种情况来考虑即可．

解答 解：假设这样的实数m，
使函数f（x）=x²-（m-1）x+2m在区间[0，1]上有且只有一个零点．
（1）当方程x²-（m-1）x+2m=0在[0，1]上有两个相等的实根时，
△=（m-1）²-8m=0且0＜$\frac{m-1}{2}$＜1，此时m无解；
（2）当方程x²-（m-1）x+2m=0有两个不相等的实根时，
①有且只有一根（0，1）上时，有f（0）f（1）＜0，即2m（m+2）＜0，解得-2＜m＜0；
②当f（0）=0时，m=0，f（x）=x²+x=0，解得x₁=0，x₂=-1，符合题意；
③f（1）=0时，m=-2，方程可化为x²+3x-4=0，解得x₁=1，x₂=-4，符合题意．
综上可得，存在实数m，且取值范围为：[-2，0]．

点评 本题为函数零点的存在性问题，分类讨论是解决问题的关键，属于中档题．