Question

已知函数f（x）=log_a（ax²-（a+1）x+1）
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）若对任意x∈[2，+∞）恒有f（x）＞0，试确定a的取值范围．

Answer 1

考点：对数函数的图像与性质

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（1）化简ax²-（a+1）x+1＞0为（ax-1）（x-1）＞0，从而求函数的定义域；
（2）讨论a＞1与0＜a＜1，从而化恒成立问题为最值问题．

解答： 解：（1）ax²-（a+1）x+1＞0得，
（ax-1）（x-1）＞0，
解得，a＞1时，定义域为{x|x＜

1

a

或x＞1}，
当0＜a＜1时，定义域为{x|x＜1或x＞

1

a

}；
（2）①当a＞1时，f（x）＞0，即ax²-（a+1）x+1＞1，
即ax²-（a+1）x＞0，
又对任意x∈[2，+∞）恒有ax²-（a+1）x＞0，
故a＞（

1

x-1

）_max，故a＞1；
②当0＜a＜1时，由f（x）＞0得，ax²-（a+1）x+1＜1，
即a＜（

1

x-1

）_min，故a≤0；
综上所述，a＞1．

点评：本题考查了函数的性质的应用及恒成立问题的处理方法，属于基础题．