Question

正三棱锥P-ABC底面正三角形的边长为1，其外接球球心O为△ABC的重心，则此正三棱锥的体积为

1

12

．

Answer 1

分析：由题意求出底面面积及三棱锥S-ABC的高，然后求出三棱锥的体积．

解答：解：三棱锥S-ABC中，PO⊥底面ABC，
底面ABC是边长为1正三角形，所以底面面积为：

3

4

×AB2=

3

4

×12=

3

4

，
三角形ABC中，O是其中心，也是球心，
∴AO=

2

3

AD=

2

3

×

3

2

×1=

3

3

即三棱锥S-ABC的高SO=AO=

3

3

，
棱锥的体积为：

1

3

×

3

4

 ×

3

3

=

1

12

．
故答案为：

1

12

．

点评：本题是基础题，考查球内接多面体、三棱锥的体积的计算，注意三棱锥的特征是解题的关键．