Question

11．设函数f（x）=|x+1|+|x-5|．
（Ⅰ）解关于x的不等式f（x）≥10；
（Ⅱ）若f（x）≥$\frac{4}{t}$+2对任意的实数x恒成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析 （ I）对于不等式|x+1|+|x-5|≥10，分类讨论求得它的解集．
（Ⅱ）利用绝对值三角不等式求得f（x）的最小值为6，可得6≥$\frac{4}{t}$+2，由此求得t的范围．

解答 解：（ I）对于不等式|x+1|+|x-5|≥10，
 ①当x≤-1时，-2x+4≥10，∴x≤-3，∴x≤-3；
 ②当-1＜x≤5时，6≥10，不成立．
③当x＞5时，2x-4≥10，∴x≥7，∴x≥7．
综上可知：不等式的解集为 （-∞，-3]∪[7，+∞）．
（ II）∵f（x）=|x+1|+|x-5|≥|x+1-x+5|=6，f（x）≥$\frac{4}{t}$+2对任意的实数x恒成立，
∴$\frac{4}{t}+2≤6$，
∴$\frac{1}{t}≤1$，
∴t∈（-∞，0）∪[1，+∞）．

点评 本题主要考查绝对值三角不等式，绝对值不等式的解法，体现了等价转化和分类讨论的数学思想，属于基础题．