Question

如图，椭圆的一个焦点是F（1，0），O为坐标原点.

　　　　　　　　　　　　　　

（Ⅰ）已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程；

（Ⅱ）设过点F的直线l交椭圆于A、B两点.若直线l绕点F任意转动，恒有

,求a的取值范围.

Answer 1

解法一：(Ⅰ)设M，N为短轴的两个三等分点，因为△MNF为正三角形，

        所以,即1＝，解得

        因此，椭圆方程为

        (Ⅱ)设

        ()当直线 AB与x轴重合时，

             

        ()当直线AB不与x轴重合时，

        设直线AB的方程为：

        整理得

             所以

        因为恒有，所以AOB恒为钝角.

        即恒成立.

       

                   

又a²+b²m²>0,所以-m²a²b²+b²-a²b²+a²<0对mR恒成立，

即a²b²m²> a² -a²b²+b²对mR恒成立.

当mR时，a²b²m²最小值为0，所以a²- a²b²+b²<0.

a²<a²b²- b^2, a²<( a²-1)b²= b⁴,

因为a>0,b>0,所以a<b²,即a²-a-1>0,

解得a>或a<(舍去)，即a>,

综合（i）(ii)，a的取值范围为（，+）.

解法二：

（Ⅰ）同解法一，

（Ⅱ）解：（i）当直线l垂直于x轴时，

x=1代入

因为恒有|OA|²+|OB|²<|AB|²,2(1+y_A²)<4 y_A²， y_A²>1，即>1,

解得a>或a<(舍去)，即a>.

（ii）当直线l不垂直于x轴时，设A（x₁，_,y₁）, B（x₂，y₂）.

设直线AB的方程为y=k(x-1)代入

得(b²+a²k²)x²-2a²k²x+ a² k²- a² b²=0,

故x₁+x₂₌

因为恒有|OA|²+|OB|²<|AB|²,

所以x²₁+y²₁+ x²₂+ y²₂<( x₂-x₁)²₊(y₂-y₁)²_,得x₁x₂+ y₁y₂<0恒成立.

x₁x₂+ y₁y₂= x₁x₂+k²(x₁-1) (x₂-1)=(1+k²) x₁x₂-k²(x₁₊x₂)+ k² 

=(1+k²).

由题意得（a²- a² b²+b²）k²- a² b²<0对kR恒成立.

①当a²- a² b²+b²>0时，不合题意；

②当a²- a² b²+b²=0时，a=;

③当a²- a² b²+b²<0时，a²- a²(a²-1)+ (a²-1)<0，a⁴- 3a² +1>0,

解得a²>或a²>（舍去），a>，因此a.

综合（i）（ii），a的取值范围为（，+）.