Question

在面积为9的△ABC中，，且．
（1）建立适当的坐标系，求以AB，AC所在直线为渐近线且过点D的双曲线的方程；
（2）过点D分别作AB，AC所在直线的垂线DE，DF（E，F为垂足），求的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）因为以AB，AC所在直线为渐近线，故坐标系必以点A为坐标原点，∠CAB的角平分线所在的直线为一坐标轴．
建系后由和二倍角公式可写出直线AB，AC的方程，即已知双曲线的渐近线，可将方程设为4x²-y²=λ（λ≠0）的形式，再利用双曲线过点D求出λ即可．
（2）设出D点坐标，由点到直线的距离公式求出|DE|，|DF|，再求出DE和DF所成角的余弦值，注意到此角与角A的联系，由向量数量积的定义求解即可．
解答：（1）以点A为坐标原点，∠CAB的角平分线所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系（如图），设∠CAx=α．
∵，
∴tanα=2
所以，直线AC的方程为y=2x，直线AB的方程为y=-2x，
双曲线的方程可以设为4x²-y²=λ（λ≠0）．
设B（x₁，-2x₁），C（x₂，2x₂），由，
得，
所以．
即（*）
由，得又∵，
∴S_△ABC=，
即，代入等式（*），得λ=16．
所以，双曲线的方程为．
（2）由题设可知，所以．
设点D（x，y），
则，
于是，点D到AB，AC所在的直线的距离是．
故
点评：本题考查求双曲线的方程、双曲线的渐近线等知识，以及平面向量、三角等，综合性较强，考查利用所学知识综合处理问题的能力．