Question

1．已知|$\overrightarrow a$|=$\sqrt{2}$，|$\overrightarrow b$|=1．
（1）若$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$=1，求$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$的夹角．
（2）若$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$的夹角θ为45°，求|$\overrightarrow a$-$\overrightarrow b$|的值．

Answer 1

分析 （1）根据公式cos$＜\overrightarrow{a，}\overrightarrow{b}＞$=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow{b}|}$求解即可
（2）求解$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow{b}$=$\sqrt{2}×1×\frac{\sqrt{2}}{2}$=1，利用向量的模计算方法|$\overrightarrow a$-$\overrightarrow b$|=$\sqrt{（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）^{2}}$求解．

解答 解：（1）∵|$\overrightarrow a$|=$\sqrt{2}$，|$\overrightarrow b$|=1.$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$=1，
∴cos$＜\overrightarrow{a，}\overrightarrow{b}＞$=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow{b}|}$=$\frac{1}{\sqrt{2}×1}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$的夹角的范围为[0，π]，
∴$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$的夹角为：$\frac{π}{4}$，
（2）∵$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$的夹角θ为45°，
∴$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow{b}$=$\sqrt{2}×1×\frac{\sqrt{2}}{2}$=1，
∴|$\overrightarrow a$-$\overrightarrow b$|=$\sqrt{（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）^{2}}$=$\sqrt{2+1-2×1}$=1．

点评 本题考查数量积表示两个向量的夹角，向量的数量积公式、向量模的性质：向量模的平方等于向量的平方，学生的计算能力，比较基础．