Question

14．已知函数$f（x+\frac{π}{4}）=sin（2x+\frac{π}{4}）$
（Ⅰ）求f（x）解析式及其对称中心；
（Ⅱ）若$a∈[-\frac{π}{4}，\frac{7π}{24}]$，求f（a）的值范围．

Answer 1

分析 （1）用换元法求出f（x）的解析式，再根据正弦函数的图象的对称性求得函数的对称中心．
（2）由条件利用正弦函数的定义域和值域，求得f（a）的值范围．

解答 解：（1）设$t=x+\frac{π}{4}，x=t-\frac{π}{4}$，∴$f（t）=sin（2t-\frac{π}{2}+\frac{π}{4}）=sin（2t-\frac{π}{4}）$，∴$f（x）=sin（2x-\frac{π}{4}）$，
令2x-$\frac{π}{4}$=kπ，求得x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{8}$，k∈Z，可得它的对称中心为（$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{8}$，0），k∈Z．
（2）若$a∈[-\frac{π}{4}，\frac{7π}{24}]$，则$2a-\frac{π}{4}∈[-\frac{3π}{4}，\frac{1}{3}π]$，∴f（a）=sin（2a-$\frac{π}{4}$）∈[-1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$]．

点评 本题主要考查求函数的解析式，正弦函数的对称性、正弦函数的定义域和值域，属于中档题．