Question

如图，斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁，已知侧面BB₁C₁C与底面ABC垂直且∠BCA=90°，∠B₁BC=60°，BC=BB₁=2，若二面角A-B₁B-C为30°．
（Ⅰ）证明：AC⊥平面BB₁C₁C；
（Ⅱ）求AB₁与平面BB₁C₁C所成角的正切值；
（Ⅲ）在平面AA₁B₁B内找一点P，使三棱锥P-BB₁C为正三棱锥，并求P到平面BB₁C距离．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由题设条件知，本题可由面面垂直的性质定理证明线面垂直，由面BB₁C₁C⊥面ABC，因为面BB₁C₁C∩面BB₁C₁C=BC，AC⊥BC，易得所证明结论；
（II）求AB₁与平面BB₁C₁C所成角的正切值可取BB₁中点E，连接CE，AE，证明∠CEA即为二面角A-B₁B-C的平面角，再解三角形求出线面角的正切值即可；
（III）由（I）结合题设条件三棱锥P-BB₁C为正三棱锥可得出点P必在过三角形BB₁C的重心且与直线AC平行的直线上，找出此线与面AA₁B₁B的交点，此点即为P，求出P到平面BB₁C距离即可．
解答：解：（I）面BB₁C₁C⊥面ABC，因为面ABC∩面BB₁C₁C=BC，AC⊥BC，所以AC⊥面BB₁C₁C．
（II）取BB₁中点E，连接CE，AE，在△CBB₁中，BB₁=CB=2，∠CBB₁=60°
∴△CBB₁是正三角形，∴CE⊥BB₁，
又AC⊥面BB₁C₁C且BB₁?面BB₁C₁C，
∴BB₁⊥AE，即∠CEA即为二面角A-B₁B-C的平面角为30°，
∵AC⊥面BB₁C₁C，∴AC⊥CE，
在Rt△ECA中，∵CE=，
∴AC=CE•tan30°=1，
又AC⊥面BB₁C₁C，∴∠CB₁A即AB₁与面BB₁C₁C所成的线面角，
在Rt△B₁CA中，tan∠CB₁A==
（III）在CE上取点P₁，使=，则因为CE是△B₁BC的中线，
∴P₁是△B₁BC的重心，
在△ECA中，过P₁作P₁P∥CA交AE于P，?AC⊥面BB₁C₁C，P₁P∥CA
∴P₁P⊥面CBB₁，即P点在平面CBB₁上的射影是△BCB₁的中心，该点即为所求，且=，
∴PP₁₌．
点评：本题考查了面面垂直的性质定理、线面角的求法及点到面距离的求法，考查了数形结合及推理判断的能力，解题的关键是熟练掌握面面垂直的性质及线面角的平面角的做法，本题是立体几何中的有一定难度的题，是高考中的常考题型．