Question

某企业生产一种产品时，固定成本为5 000元，而每生产100台产品时直接消耗成本要增加2 500元，市场对此商品年需求量为500台，销售的收入函数为(万元)(0≤≤5)，其中是产品售出的数量(单位：百台)
(1)把利润表示为年产量的函数；
(2)年产量多少时，企业所得的利润最大；
(3)年产量多少时，企业才不亏本？

Answer 1

（1）
（2）当生产475台时，利润最大．
（3）企业年产量在10台到4 800台之间时，企业不亏本．

解：(1)利润y是指生产数量x的产品售出后的总收入R(x)与其总成本C(x)之差，由题意，
当x≤5时，产品能全部售出，当x＞5时，只能销售500台，所以
＝
(2)在0≤x≤5时，y＝－x²＋4.75x－0.5，当x＝－＝4.75百台时，y_max＝10.781 25 万元．
当x＞5 百台时，y＜12－0.25×5＝10.75 万元，所以当生产475台时，利润最大．
(3)要使企业不亏本，即要求：或
解得5≥x≥4.75－≈0.1 百台或5＜x＜48 百台，即企业年产量在10台到4 800台之间时，企业不亏本．