Question

给出定义：若函数f（x）在D上可导，即f′（x）存在，且导函数f′（x）在D上也可导，则称f（x）在D上存在二阶导函数，记f^″（x）=（f′（x））′，若f^″（x）＜0在D上恒成立，则称f（x）在D上为凸函数．对于给出的四个函数：
①f（x）=sinx+cosx，②f（x）=lnx-2x，③f（x）=-x⁴+x³-x²+1，④f（x）=-xe^-x
以上四个函数在(0，

π

2

)上是凸函数的是

①②③

（请把所有正确的序号均填上）

Answer 1

分析：根据二阶导数的定义逐项判断即可得到答案．

解答：解：对于①，f″（x）=-（sinx+cosx），x∈（0，

π

2

）时，f″（x）＜0恒成立；
对于②，f″（x）=-

1

x2

，在x∈（0，

π

2

）时，f″（x）＜0恒成立；
对于③，f″（x）=-2（6x²-3x+1），在x∈（0，

π

2

）时，f″（x）＜0恒成立；
对于④，f″（x）=（2-x）•e^-x在x∈（0，

π

2

）时f″（x）＞0恒成立，
所以f（x）=-xe^-x不是凸函数．
故答案为：①②③．

点评：本题考查导数的运算，考查学生的运算求解能力及应用意识，属基础题．