Question

已知点R（-3，0），点P在x轴的正半轴上，点Q在y轴上，点M在直线PQ上，且满足2+3=，•=1．
（1）求点M的轨迹C的方程；
（2）设直线l：y=x+m（m∈R）与曲线C恒有公共点求m的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用直接法求点M的轨迹C的方程，先设出P点坐标，用P点坐标表示，与，再化简，就可得点M的轨迹C的方程．
（2）直线l方程与（1）中所求点M的轨迹C的方程联立，消y，得到关于x的一元二次方程，先找直线l：y=x+m（m∈R）与曲线C有1个公共点时，m的值，结合图象，就可求出直线l：y=x+m（m∈R）与曲线C恒有公共点时m的范围．
解答：解：（1）设M（x，y），由，得P（，0），Q（0，-）
由得（，0）•（0，-）=1，
即，
由于点P在x轴的正半轴上，所以x＞0，
故点M的轨迹C的方程为（x＞0）
（2）由
得13x²+18mx+（9m²-6）=0，
△=（18m）²-4×13（9m²-6）=0得  m²=，m=±，
因为（x＞0）表示椭圆在y轴右边部分．

椭圆的上顶点B（0，），
所以数形结合得-≤m＜
所以m的取值范围为[-，]．
点评：本题考查了直接法求曲线方程，以及直线与圆锥曲线位置关系的判断．