Question

多面体ABCDE中，AB=BC=AC=AE=1，CD=2，AE⊥面ABC，AE∥CD．
（1）求证：AE∥面BCD；
（2）求证：面BED⊥面BCD．

Answer 1

（1）∵AE∥CD，AE?面BCD，
∴AE∥面BCD（5分）
（2）取BC中点为N，BD中点为M，连接MN、EN
∵MN是△BCD的中位线，∴MN∥CD（7分）
又∵AE∥CD，∴AE∥MN，∴MN⊥面ABC，
∴MN⊥AN（8分）
∵△ABC为正△，∴AN⊥BC，
∴AN⊥面BCD（10分）
又∵AE=MN=1，AE∥MN，∴四边形ANME为平行四边形（12分）
∴EM⊥面BCD，
∴面BED⊥面BCD（14分）
分析：（1）平面外的直线，如果它和平面内的一条直线平行，则此直线和这个平面平行．
（2）取BC中点为N，BD中点为M，证MN⊥面ABC，从而MN⊥AN，再证 AN⊥面BCD，先证四边形ANME为平行四边形，从而EM⊥面BCD，进而证得面BED⊥面BCD．
点评：本题考查线面平行的证明方法，以及证明两个平面垂直的方法（即在其中一个平面内找出一条直线和另一个平面垂直）．