Question

已知某程序框图如图所示
①写出y=f（x）的表达式
②若f（x）-m²+m≥0对于一切x∈R均成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

①根据流程图可知是条件结构
算法执行到判断框给定的条件P是否成立，选择不同的执行框（A框、B框），
故可用分段函数表示y=f（x）=

2x(x+1)+3，x≤-1 24x+4 22x ，x＞-1

；
②由f（x）-m²+m≥0，得m²-m≤f（x）．
不等式f（x）-m²+m≥0对于一切x∈R均成立，
即为m²-m≤f（x）对于一切x∈R恒成立，即m²-m≤f_mix（x）．
对于f（x）=

2x(x+1)+3，x≤-1 24x+4 22x ，x＞-1

，当x≤-1时，是减函数，故x≤-1时，f（x）≥f（-1）=3；
当x＞-1时，f（x）=

24x+4 22x

=

22x+ 4 22x

≥

2•(22x• 4 22x ) 1 2

=2，
故x＞-1时，f（x）≥2（当x=

1

2

时取等号）
∴函数f（x）在R上的最小值为2，即f（x）_min=2．
所以m²-m≤2，解得-1≤x≤2．
所以，若f（x）-m²+m≥0对于一切x∈R均成立的实数m的取值范围[-1，2]．