Question

已知数列（a_n}满足：a₁=

1

2

，a_n+1=

n+1

2n

a_n，数列{b_n}满足nb_n=a_n（n∈N^*）．
（1）证明数列{b_n}是等比数列，并求其通项公式：
（2）求数列{a_n}的前n项和S_n
（3）在（2）的条件下，若集合{n|

(n2+n)(2-Sn)

n+2

≥λ，n∈N^*}=∅．求实数λ的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据等比数列的定义证明数列是等比数列，求出首项和公比即可求等比数列的通项公式．
（2）由（1）可得a_n=nb_n=

n

2n

．利用“错位相减法”即可得到S_n
（3）由S_n得|

(n2+n)(2-Sn)

n+2

=

n2+n

2n

，令cn=

n2+n

2n

，由题意可知：只需λ＞c_nmax．利用c_n+1-c_n=

(n+1)(2-n)

2n+1

．研究其单调性即可得出数列{c_n}的最大项为c₂或c₃．即可得到实数λ的取值范围．

解答：（1）证明：∵数列{b_n}满足nb_n=a_n（n∈N^*），得bn=

an

n

．由a_n+1=

n+1

2n

a_n，可得

an+1

n+1

=

1

2

•

an

n

，∴bn+1=

1

2

bn．
又b1=a1=

1

2

，∴数列{b_n}是等比数列，首项为

1

2

，公比为

1

2

，
∴bn=

1

2

×(

1

2

)n-1=(

1

2

)n．
（2）解：由（1）可得a_n=nb_n=

n

2n

．
∴S_n=

1

2

+

2

22

+

3

23

+…+

n

2n

，

1

2

Sn=

1

22

+

2

23

+…+

n-1

2n

+

n

2n+1

，
∴

1

2

Sn=

1

2

+

1

22

+…+

1

2n

-

n

2n+1

=

1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

-

n

2n+1

=1-

1

2n

-

n

2n+1

，
∴S_n=2-

2+n

2n

．
（3）由S_n=2-

2+n

2n

，得|

(n2+n)(2-Sn)

n+2

=

n2+n

2n

，令cn=

n2+n

2n

，
由题意可知：只需λ＞c_nmax．
∵c_n+1-c_n=

(n+1)2+n+1

2n+1

-

n2+n

2n

=

(n+1)(2-n)

2n+1

．
当n≥3时，c_n＞c_n+1，∴c₃＞c₄＞c₅＞…，而c₁＜c₂=c₃，
∴数列{c_n}的最大项为

3

2

．
∴实数λ的取值范围是(

3

2

，+∞)．

点评：本题考查了等比数列的通项公式及其前n项和公式、“错位相减法”、数列的恒成立问题的等价转化、数列的单调性等基础知识与基本技能方法，属于难题．