Question

【题目】已知函数f（x）=ae2x﹣be﹣2x﹣cx（a，b，c∈R）的导函数f′（x）为偶函数，且曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线的斜率为4﹣c．
（1）确定a，b的值；
（2）若c=3，判断f（x）的单调性；
（3）若f（x）有极值，求c的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵函数f（x）=ae2x﹣be﹣2x﹣cx（a，b，c∈R）

∴f′（x）=2ae2x+2be﹣2x﹣c，

由f′（x）为偶函数，可得2（a﹣b）（e2x﹣e﹣2x）=0，

即a=b，

又∵曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线的斜率为4﹣c，

即f′（0）=2a+2b﹣c=4﹣c，

故a=b=1；

（2）解：当c=3时，f′（x）=2e2x+2e﹣2x﹣3≥2 =1＞0恒成立，

故f（x）在定义域R为均增函数；

（3）解：由（1）得f′（x）=2e2x+2e﹣2x﹣c，

而2e2x+2e﹣2x≥2 =4，当且仅当x=0时取等号，

当c≤4时，f′（x）≥0恒成立，故f（x）无极值；

当c＞4时，令t=e2x，方程2t+ ﹣c=0的两根均为正，

即f′（x）=0有两个根x1，x2，

当x∈（x1，x2）时，f′（x）＜0，当x∈（﹣∞，x1）∪（x2，+∞）时，f′（x）＞0，

故当x=x1，或x=x2时，f（x）有极值，

综上，若f（x）有极值，c的取值范围为（4，+∞）

【解析】（1）根据函数f（x）=ae2x﹣be﹣2x﹣cx（a，b，c∈R）的导函数f′（x）为偶函数，且曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线的斜率为4﹣c，构造关于a，b的方程，可得a，b的值；（2）将c=3代入，利用基本不等式可得f′（x）≥0恒成立，进而可得f（x）在定义域R为均增函数；（3）结合基本不等式，分c≤4时和c＞4时两种情况讨论f（x）极值的存在性，最后综合讨论结果，可得答案