Question

已知函数f(x)=-x³+ax²-4(a∈R).

(1)若函数y=f(x)的图象在点P(1,f(1))处的切线的倾斜角为,求a;

(2)设f(x)的导函数是f′(x).在(1)的条件下,若m,n∈［-1,1］,求f(m)+f′(n)的最小值;

(3)若存在x₀∈(0,+∞),使f(x₀)＞0,求a的取值范围.

Answer 1

解:(1)f′(x)=-3x²+2ax.

据题意,f′(1)=tan=1,∴-3+2a=1,即a=2.

(2)由(1)知f(x)=-x³+2x²-4,

则f′(x)=-3x²+4x.

x	-1	(-1,0)	0	(0,1)	1
f′(x)	-7	-	0	+	1
f(x)	-1	↘	-4	↗	-3

∴对于m∈［-1,1］,f(m)的最小值为f(0)=-4.

∵f′(x)=-3x²+4x的对称轴为x=,且抛物线开口向下,

∴x∈［-1,1］时,f′(x)最小值为f′(-1)与f′(1)中较小的.

∵f′(1)=1,f′(-1)=-7,

∴当x∈［-1,1］时,f′(x)的最小值为-7.

∴当n∈［-1,1］时,f′(n)的最小值为-7.

∴f(m)+f′(n)的最小值为-11.8分(3)∵f′(x)=-3x(x),

①若a≤0,当x＞0时,f′(x)＜0,∴f(x)在［0,+∞)上单调递减.

又f(0)=-4,则当x＞0时,f(x)＜-4.∴当a≤0时,不存在x₀＞0,使f(x₀)＞0.

②若a＞0,则当0＜x＜时,f′(x)＞0,当x＞时,f′(x)＜0.

从而f(x)在(0,］上单调递增,在［,+∞)上单调递减.

∴当x∈(0,+∞)时,f(x)_max=f()=+-4=-4.

据题意,-4＞0,即a³＞27.∴a＞3.

综上,a的取值范围是(3,+∞).