练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
    本题包括（1）、（2）、（3）、（4）四小题，请选定其中两题，并在答题卡指定区域内答，
    若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
    （1）、选修4-1：几何证明选讲
    如图，∠PAQ是直角，圆O与AP相切于点T，与AQ相交于两点B，C．求证：BT平分∠OBA
    （2）选修4-2：矩阵与变换（本小题满分10分）
    若点A（2，2）在矩阵对应变换的作用下得到的点为B（-2，2），求矩阵M的逆矩阵
    （3）选修4-2：矩阵与变换（本小题满分10分）
    在极坐标系中，A为曲线ρ2+2ρcosθ-3=0上的动点，B为直线ρcosθ+ρsinθ-7=0上的动点，求AB的最小值．
    （4）选修4-5：不等式选讲（本小题满分10分）
    已知a1，a2…an都是正数，且a1•a2…an=1，求证：（2+a1）（2+a2）…（2+an）≥3n．

    【答案】分析：（1）要证明BT平分∠OBA，即证∠OBT=∠ABT，根据∠PAQ是直角，圆O与AP相切于点T，联想到切线的性质，我们可以先连接OT，然后根据QA∥OT，结合角与角之间的等量代换，我们易得结论．
    （2）首先由点A（2，2）在矩阵M对应变换作用下得到的点为B（-2，2）以及矩阵M的参数表达式可以解除矩阵M，再根据M-1M=E，可直接解出矩阵M的逆矩阵．
    （3）先将ρ2+2ρcosθ-3=0和直线ρcosθ+ρsinθ-7=0极坐标方程利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得直角坐标方程．再利用点到直线的距离求得|AB|距离的最小值即可．
    （4）根据不等式的结构特征，得出2+an=1+1+an≥3•＞0，对各项放缩后，再利用不等式的性质同向不等式相乘．
    解答：（1）证明：连接OT，
    ∵AT是切线，
    ∴OT⊥AP．
    又∵∠PAB是直角，即AQ⊥AP
    ∴AB∥OT，
    ∴∠TBA=∠BTO
    又∵OT=OB，
    ∴∠OTB=∠OBT．
    ∴∠OBT=∠TBA，即BT平分∠OBA
    （2）解：因为点A（2，2）在矩阵M对应变换作用下得到的点为B（-2，2），
    故有：=，即=，
    所以cosα-sinα=-1，cosα+sinα=1，
    可解得：cosα=0，sinα=1，
    所以M=，由M-1M=，
    可解得矩阵M的逆矩阵．
    （3）解：圆方程为（x+1）2+y2=4，圆心（-1，0），直线方程为x+y-7=0
    圆心到直线的距离d==4，所以|AB|min=4-2．
    （4）证明：∵a1＞0，1＞0；
    ∴2+a1=1+1+a1≥≥3•＞0；…（2分）
    同理：2+a2=1+1+a2≥3•＞0；…，2+an=1+1+an≥＞0
    由不等式性质：上面n大于0的同向不等式相乘，即得：（2+a1）（2+a2）…（2+an）≥3n•…（4分）
    ∵已知：a1•a2…an=1，代入上式得：（2+a1）（2+a2）…（2+an）≥3n…（6分）
    点评：本题是选做题，考查四方面的内容，主要考查二阶矩阵变化以及由矩阵求其逆矩阵的方法，考查点的极坐标和直角坐标的互化，考查不等式的证明，用到了利用三元均值不等式放缩法和不等式的性质．
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：

    精英家教网选做题本题包括A，B，C，D四小题，请选定其中 两题 作答，每小题10分，共计20分，
    解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
    A选修4-1：几何证明选讲
    自圆O外一点P引圆的一条切线PA，切点为A，M为PA的中点，过点M引圆O的割线交该圆于B、C两点，且∠BMP=100°，∠BPC=40°，求∠MPB的大小．
    B选修4-2：矩阵与变换
    已知二阶矩阵A=
    ab
    cd
    ，矩阵A属于特征值λ1=-1的一个特征向量为α1=
    1
    -1
    ，属于特征值λ2=4的一个特征向量为α2=
    3
    2
    ．求矩阵A．
    C选修4-4：坐标系与参数方程
    在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程为
    x=2cosα
    y=sinα
    (α为参数)    ．以直角坐标系原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos(θ-
    π
    4
    )=2
    		2
    ．点
    P为曲线C上的动点，求点P到直线l距离的最大值．
    D选修4-5：不等式选讲
    若正数a，b，c满足a+b+c=1，求
    1
    3a+2
    +
    1
    3b+2
    +
    1
    3c+2
    的最小值．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    本题包括（1）、（2）、（3）、（4）四小题，请选定其中两题，并在答题卡指定区域内答，
    若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
    （1）、选修4-1：几何证明选讲
    如图，∠PAQ是直角，圆O与AP相切于点T，与AQ相交于两点B，C．求证：BT平分∠OBA
    （2）选修4-2：矩阵与变换（本小题满分10分）
    若点A（2，2）在矩阵M=
    cosα-sinα
    sinαcosα
    对应变换的作用下得到的点为B（-2，2），求矩阵M的逆矩阵
    （3）选修4-2：矩阵与变换（本小题满分10分）
    在极坐标系中，A为曲线ρ2+2ρcosθ-3=0上的动点，B为直线ρcosθ+ρsinθ-7=0上的动点，求AB的最小值．
    （4）选修4-5：不等式选讲（本小题满分10分）
    已知a1，a2…an都是正数，且a1•a2…an=1，求证：（2+a1）（2+a2）…（2+an）≥3n．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    本题包括高考A，B，C，D四个选题中的B，C两个小题，每小题10分，共20分．把答案写在答题卡相应的位置上．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
    B．选修4-2：矩阵与变换
    已知矩阵A=
    11
    21
    ，向量
    β
    =
    1
    2
    ．求向量
    α
    ，使得A2
    α
    =
    β
    ．
    C．选修4-4：极坐标与参数方程
    在直角坐标系x0y中，直线l的参数方程为
    x=
    1
    2
    t
    y=
    		2
    2
    +
    		3
    2
    t
    （t为参数），若以直角坐标系xOy的O点为极点，Ox为极轴，且长度单位相同，建立极坐标系，得曲线C的极坐标方程为ρ=2cos(θ-
    π
    4
    )    ．
    （1）求直线l的倾斜角；
    （2）若直线l与曲线l交于A、B两点，求AB．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2012•徐州模拟）本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在答题卡指定区域内作答，
    若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
    A．选修4-1：几何证明选讲
    如图，半径分别为R，r（R＞r＞0）的两圆⊙O，⊙O1内切于点T，P是外圆⊙O上任意一点，连PT交⊙O1于点M，PN与内圆⊙O1相切，切点为N．求证：PN：PM为定值．
    B．选修4-2：矩阵与变换
    已知矩阵M=
    21
    34

    （1）求矩阵M的逆矩阵；
    （2）求矩阵M的特征值及特征向量；
    C．选修4-2：矩阵与变换
    在平面直角坐标系x0y中，求圆C的参数方程为
    x=-1+rcosθ
    y=rsinθ
    (θ    为参数r＞0），以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos(θ+
    π
    4
    )=2
    		2
    ．若直线l与圆C相切，求r的值．
    D．选修4-5：不等式选讲
    已知实数a，b，c满足a＞b＞c，且a+b+c=1，a2+b2+c2=1，求证：1＜a+b＜
    4
    3
    ．

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案