Question

19．已知函数f（x）=2x³-3（a+1）x²+6ax，
（1）若a=2，求f（x）在R上的极值；
（2）若函数f（x）在[0，2]上的最大值是g（a），求g（a）的表达式．

Answer 1

分析 （1）先求出函数f（x）的导数，从而求出函数的单调区间和极值；（2）先求出函数的导数，通过讨论a的范围，从而求出g（a）的表达式．

解答 解：（1）若a=2，则f（x）=2x³-9x²+12x，则f′（x）=6x²-18x+12=6（x-1）（x-2），

	（-∞，1）	1	（1，2）	2	（2，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f （x）	↗	极大值	↘	极小值	↗

当x=1时，f（x）_极大值=f（1）=5，当x=2时，f（x）_极小值=f（2）=4，
（2）f′（x）=6x²-6（a+1）x+6a=6（x-1）（x-a），
①当a≤0时，f（x）在（0，1）单调递减，在（1，2）单调递增，
f（x）_max=max{f（0），f（2）}=max{0，4}=4，
②当0＜a＜1时，f（x）在（0，a）单调递增，在（a，1）单调递减，在（1，2）单调递增，
f（x）_max=max{f（a），f（2）}=max{-a³+3a²，4}，
由于4-（-a³+3a²）=a³-3a²+4=a³+1-3a²+3=（a+1）（a²-a+1）-3（a+1）（a-1）=（a+1）（a-2）²，
在0＜a＜1的条件下，肯定为正，所以4＞-a³+3a²，故f（x）_max=max{f（a），f（2）}=max{-a³+3a²，4}=4，
③当a=1时，f（x）在（0，2）单调递增f（x）_max=f（2）=4，
④当1＜a＜2时，f（x）在（0，1）单调递增，在（1，a）单调递减，在（a，2）单调递增，f（x）_max=max{f（1），f（2）}=max{3a-1，4}，
由于4-（3a-1）=5-3a，则当1＜a＜$\frac{5}{3}$时，4＞3a-1，即f（x）_max=4，
当$\frac{5}{3}$＜a＜2时，4≤（3a-1），即f（x）_max=3a-1，
⑤当a≥2时，f（x）在（0，10单调递增，在（1，2）单调递减，f（x）_max=f（1）=3a-1，
综上所述，f（x）_max=$\left\{\begin{array}{l}{4，（a＜\frac{5}{3}）}\\{3a-1，（a≥\frac{5}{3}）}\end{array}\right.$．

点评 本题考查了函数的单调性、函数的极值问题，考查导数的应用，分类讨论思想，是一道难题．