Question

（2013•广州三模）如图，长为m+1（m＞0）的线段AB的两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，点M是线段AB上一点，且

AM

=m

MB

．
（1）求点M的轨迹Γ的方程，并判断轨迹Γ为何种圆锥曲线；
（2）设过点Q（

1

2

，0）且斜率不为0的直线交轨迹Γ于C、D两点．试问在x轴上是否存在定点P，使PQ平分∠CPD？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）设A、B、M的坐标分别为（x₀，0）、（0，y₀）、（x，y），根据

AM

=m

MB

建立关系式解出用m、x、y表示x₀和y₀的式子，将此代入x02+y02=（m+1）²，化简可得点M满足的方程为：x²+

y2

m2

=1（m＞0），最后根据m的取值范围讨论即可得出轨迹Γ所属圆锥曲线的类型；
（2）设CD的方程为x=ty+

1

2

，与轨迹Γ的方程消去x得（m²t²+1）y²+m²ty-

3

4

m²=0，设C（x₁，y₁）、D（x₂，y₂），利用根与系数的关系得y₁+y₂=-

m2t

m2t2+1

且y₁y₂=-

3m2

4(m2t2+1)

．设x轴上存在P（a，0），使PQ平分∠CPD，可得k_PC+k_PD=0，即

y1

x1-a

+

y2

x2-a

=0，结合直线CD方程与前面得到的等式进行化简，整理得-2m²t（2-a）=0，根据t的任意性可得a=2，故在x轴上存在定点P（2，0），使PQ平分∠CPD．

解答：解：（1）设A、B、M的坐标分别为（x₀，0）、（0，y₀）、（x，y），则
x02+y02=（m+1）²，①
由

AM

=m

MB

，得（x-x₀，y）=m（-x，y₀-y），
∴

x-x0=-mx y=m(y0-y)

，解之得

x0=(m+1)x y0= m+1 m y

②
将②代入①，得
（m+1）²x²+（

m+1

m

）²y²=（m+1）²，
化简即得点M的轨迹Γ的方程为：x²+

y2

m2

=1（m＞0）．
当0＜m＜1时，轨迹Γ是焦点在x轴上的椭圆；
当m=1时，轨迹Γ是以原点为圆心，半径为1的圆；
当m＞1时，轨迹Γ是焦点在y轴上的椭圆．
（2）依题意，设直线CD的方程为x=ty+

1

2

，
由

x=ty+ 1 2 x2+ y2 m2 =1

消去x，并化简整理，得（m²t²+1）y²+m²ty-

3

4

m²=0，
△=m⁴t²+3m²（m²t²+1）＞0，
设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），则
y₁+y₂=-

m2t

m2t2+1

，y₁y₂=-

3m2

4(m2t2+1)

．         ③
假设在x轴上存在定点P（a，0），使PQ平分∠CPD，则直线PC、PD的倾斜角互补，
∴k_PC+k_PD=0，即

y1

x1-a

+

y2

x2-a

=0，
∵x₁=ty₁+

1

2

，x₂=ty₂+

1

2

，∴

y1

ty1+ 1 2 -a

+

y2

ty2+ 1 2 -a

=0，
化简，得4ty₁y₂+（1-2a）（ y₁+y₂）=0．           ④
将③代入④，得-

12tm2

4(m2t2+1)

-

m2t(1-2a)

m2t2+1

=0，整理得-2m²t（2-a）=0，…（*）
∵m＞0，∴t（2-a）=0，
∵对?t∈R，（*）式都成立，
∴可得a=2，故在x轴上存在定点P（2，0），使PQ平分∠CPD．

点评：本题给出长度为定值的线段AB上一个满足定比的分点M，当A、B分别位于x、y轴时求M的轨迹方程，并讨论了x轴上是否存在定点P（a，0）能使使PQ平分∠CPD的问题，着重考查了运用坐标转移法求轨迹方程、椭圆的标准方程与简单性质和直线与椭圆的位置关系等知识，属于中档题．