Question

已知集合M={x|

(x-4)(x+2)

(x-7)(x+1)

＜0}，集合N={x|2

ax

＞3a-x，a＜0}，求集合T={a|M∩N≠∅}．

Answer 1

分析：根据集合M中的不等式，画出相应的图形，根据图形得出不等式的解集，确定出集合M；集合N中的不等式，若3a-x大于等于0时，两边平方，整理后不等式左边分解因式，根据两数相乘同号得正、异号得负的取符号法则得出不等式的解集，若3a-x小于0，只需保证被开方数大于0即可，由a小于0，得到x小于0，得出x的范围，即为不等式的解集，综上，得到原不等式的解集，确定出集合N，由M与N的交集不为空集，列出关于a的不等式，求出不等式的解集得到a的范围，即可确定出集合T．

解答：解：由集合M中的不等式

(x-4)(x+2)

(x-7)(x+1)

＜0，
画出相应的图形，如图所示：

由图形可得集合M={x|-2＜x＜-1或4＜x＜7}；
集合N中的不等式2

ax

＞3a-x，
当3a-x≥0，即x≤3a时，
两边平方得：4ax＞（3a-x）²，即（x-9a）（x-a）＜0，
解得：9a＜x＜a，
此时不等式的解集为9a＜x≤3a，
当3a-x＜0，即x＞3a时，此时x＜0，不等式恒成立，
此时不等式的解集为3a＜x＜0，
综上，集合N={x|9a＜x＜0，a＜0}，
∵M∩N≠∅，
∴9a＜-1，即a＜-

1

9

，
则集合T={a|a＜-

1

9

}．

点评：此题考查了一元二次不等式的解法，以及交集、空集的意义，利用了转化、分类讨论及数形结合的思想，学生做题时应借助图形，注意根据题意对区间端点作出合理的取舍，进而列出满足题意的关于a的不等式．