Question

已知方程

x2

2-k

+

y2

k-1

=1表示的图形是：（1）双曲线；（2）椭圆；（3）圆．试分别求出k的取值范围．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质,椭圆的简单性质

专题：计算题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由（2-k）（k-1）＜0，解得即可；
（2）分别讨论焦点在x，y轴上，得到不等式，解得再求并集；
（3）考虑分母相等，检验是否大于0，即可．

解答： 解：（1）由（2-k）（k-1）＜0，解得，k＞2或k＜1；
（2）当椭圆的焦点在x轴上，有2-k＞k-1＞0，
解得，1＜k＜

3

2

；
当椭圆的焦点在y轴上，有k-1＞2-k＞0，
解得，

3

2

＜k＜2．
（3）由2-k=k-1＞0，
解得，k=

3

2

．
则（1）当k＞2或k＜1时，方程表示双曲线；
（2）当1＜k＜2且k≠

3

2

时，方程表示椭圆；
（3）当k=

3

2

时，方程表示圆．

点评：本题考查方程表示的图形，考查椭圆方程，注意讨论焦点的位置，考查双曲线方程，注意考虑分母异号，考查圆的方程，注意分母为正，属于基础题和易错题．