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(本小题满分14分)

已知函数的极值点为

(Ⅰ)求实数的值;

(Ⅱ)试讨论方程根的个数;

(Ⅲ)设,斜率为的直线与曲线交于

两点,试比较的大小,并给予证明.

本题考查函数、导数等基础知识,考查运算求解能力、推理论证能力,考查化归与转化思想、函数与方程思想、分类与整合思想、数形结合思想.满分14分.

解:(Ⅰ),……………… 1分

的极值点为

的根为

解得                   ……………………3分

(Ⅱ)由

,设.

,      ………………5分

变化时,的变化情况如下表:

+

单调递减

单调递增

由此得,函数的单调减区间为,单调增区间为.…6分

且当正向趋近于0时,趋近于

趋近于时,趋近于. ………………7分

∴当时,方程只有一解;

时,方程有两解;

时,方程无解.                         ………………9分

(Ⅲ).                                   ……………10分

证明:由(Ⅰ)得

.

要证,即证

只需证,(因为

即证.只需证.(*)…………………12分

单调递增,

∴不等式(*)成立.

.                                 ………………… 14分

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(2011•广东模拟)(本小题满分14分 已知函数f(x)=
3
sin2x+2sin(
π
4
+x)cos(
π
4
+x)

(I)化简f(x)的表达式,并求f(x)的最小正周期;
(II)当x∈[0,
π
2
]  时,求函数f(x)
的值域.

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(1)证明:数列}是等比数列;
(2)设,求及数列{}的通项公式;
(3)记,求数列{}的前n项和,并证明.

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 (本小题满分14分)

某网店对一应季商品过去20天的销售价格及销售量进行了监测统计发现,第天()的销售价格(单位:元)为,第天的销售量为,已知该商品成本为每件25元.

(Ⅰ)写出销售额关于第天的函数关系式;

(Ⅱ)求该商品第7天的利润;

(Ⅲ)该商品第几天的利润最大?并求出最大利润.

 

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(本小题满分14分)已知的图像在点处的切线与直线平行.

⑴ 求满足的关系式;

⑵ 若上恒成立,求的取值范围;

⑶ 证明:

 

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