【题目】已知函数 .
(1)当a<0时,若x>0,使f(x)≤0成立,求a的取值范围;
(2)令g(x)=f(x)﹣(a+1)x,a∈(1,e],证明:对x1 , x2∈[1,a],恒有|g(x1)﹣g(x2)|<1.
【答案】
(1)解:当a<0,由 .
令f′(x)=0,
∴
列表:
x | |||
f′(x) | ﹣ | 0 | + |
f(x) | 减函数 | 极小值 | 增函数 |
这是 .
∵x>0,使f(x)≤0成立,
∴ ,
∴a≤﹣e,
∴a范围为(﹣∞,﹣e].
(2)解:因为对x∈[1,a], ,所以g(x)在[1,a]内单调递减.所以 .
要证明|g(x1)﹣g(x2)|<1,
只需证明 <1,
即证明 <0.
令 ,
>0,
所以 在a∈(1,e]是单调递增函数,
所以 <0,
故命题成立
【解析】(1)求出函数f(x)的导函数,令导函数等于0求出根,列出x,f′(x),f(x)的情况变化表,通过表得到函数的最小值,令最小值小于等于0即可.(2)求出g(x)的导函数,判断出导函数的符号,得到函数g(x)递减,求出g(x)的最大值及最小值,通过分析法只需证得最大值与最小值差的绝对值小于1即可,构造新函数h(x),h(x)的导函数,判断出其符号,进一步求出h(x)的最大值,得证.
【考点精析】利用利用导数研究函数的单调性对题目进行判断即可得到答案,需要熟知一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系: 在某个区间内,(1)如果,那么函数在这个区间单调递增;(2)如果,那么函数在这个区间单调递减.
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【题目】函数f(x)对任意的m,n∈R都有f(m+n)=f(m)+f(n)-1,并且x>0时,恒有f(x)>1.
(1)求证:f(x)在R上是增函数;
(2)若f(3)=4,解不等式f(a2+a-5)<2
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【题目】甲、乙两家商场对同一种商品开展促销活动,对购买该商品的顾客两家商场的奖励方案如下:
甲商场:顾客转动如图所示圆盘,当指针指向阴影部分(图中四个阴影部分均为扇形,且每个扇形圆心角均为15°,边界忽略不计) 即为中奖.
乙商场:从装有3个白球3个红球的盒子中一次性摸出2个球(球除颜色外不加区分),如果摸到的是2个红球,即为中奖.
问:购买该商品的顾客在哪家商场中奖的可能性大?
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【题目】动圆M与定圆C:x2+y2+4x=0相外切,且与直线l:x-2=0相切,则动圆M的圆心的轨迹方程为( )
A. y2-12x+12=0 B. y2+12x-12=0
C. y2+8x=0 D. y2-8x=0
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【题目】已知函数y=f(x)是定义域为R的偶函数. 当x≥0时,f(x)= ,若关于x的方程[f(x)]2+af(x)+b=0,a,b∈R有且仅有6个不同实数根,则实数a的取值范围是 .
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【题目】某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品,估计能获得10万元到1000万元的投资收益.现准备制定一个对科研课题组的奖励方案:奖金y(单位:万元)随投资收益x(单位:万元)的增加而增加,且奖金不超过9万元,同时奖金不超过投资收益的20%.
(1)若建立函数y=f(x)模型制定奖励方案,试用数学语言表述该公司对奖励函数f(x)模型的基本要求,并分析函数y= 是否符合公司要求的奖励函数模型,并说明原因;
(2)若该公司采用模型函数y= 作为奖励函数模型,试确定最小的正整数a的值.
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【题目】直三棱柱中,底面是边长为2的正三角形, 是棱的中点,且.
(1)若点为棱的中点,求异面直线与所成角的余弦值;
(2)若点在棱上,且平面,求线段的长.
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