【题目】(2016·重庆高二检测)如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱垂直底面,∠ACB=90°,AC=BC=AA1,D是棱AA1的中点.
(1)证明:平面BDC1⊥平面BDC.
(2)平面BDC1分此棱柱为两部分,求这两部分体积的比.
【答案】(1)见解析(2)1:1
【解析】试题分析:(1)由题意易证平面,再由面面垂直的判定定理即可得平面平面;(2)设棱锥的体积为,易求,三棱柱的体积为,于是可得,从而得到答案.
试题解析:(1)证明:由题设知BC⊥CC1,BC⊥AC,CC1∩AC=C,
所以BC⊥平面ACC1A1.
又DC1平面ACC1A1,所以DC1⊥BC.
由题设知∠A1DC1=∠ADC=45°,
所以∠CDC1=90°,即DC1⊥DC.
又DC∩BC=C,所以DC1⊥平面BDC.
又DC1平面BDC1,故平面BDC1⊥平面BDC.
(2)设棱锥B—DACC1的体积为V1,AC=1.
由题意得V1=××1×1=.
又三棱柱ABC—A1B1C1的体积V=1,
所以(V-V1)∶V1=1∶1.
故平面BDC1分此棱柱所得两部分体积的比为1∶1.
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【题目】某县城出租车的收费标准是:起步价是元(乘车不超过千米);行驶千米后,每千米车费1.2元;行驶千米后,每千米车费1.8元.
(1)写出车费与路程的关系式;
(2)一顾客计划行程千米,为了省钱,他设计了三种乘车方案:
①不换车:乘一辆出租车行千米;
②分两段乘车:先乘一辆车行千米,换乘另一辆车再行千米;
③分三段乘车:每乘千米换一次车.
问哪一种方案最省钱.
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【题目】线段AB的两端在直二面角α-l-β的两个面内,并与这两个面都成30°角,则异面直线AB与l所成的角是( )
A. 30° B. 45°
C. 60° D. 75°
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【题目】对于函数,若在定义域内存在实数,满足,则称为“局部奇函数”
(1)已知二次函数(且),试判断是否为“局部奇函数”,并说明理由;
(2)若是定义在区间上的“局部奇函数”,求实数的取值范围;
(3)若为定义域为上的“局部奇函数”,求实数的取值范围;
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【题目】设A是实数集,满足若a∈A,则∈A,a≠1,且1A.
(1)若2∈A,则集合A中至少还有几个元素?求出这几个元素.
(2)集合A中能否只含有一个元素?请说明理由.
(3)若a∈A,证明:1-∈A.
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【题目】某高校数学系2016年高等代数试题有6个题库,其中3个是新题库(即没有用过的题库),3个是旧题库(即至少用过一次的题库),每次期末考试任意选择2个题库里的试题考试.
(1)设2016年期末考试时选到的新题库个数为,求的分布列和数学期望;
(2)已知2016年时用过的题库都当作旧题库,求2017年期末考试时恰好到1个新题库的概率.
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【题目】定义满足“如果a∈A,b∈A,那么a±b∈A,且ab∈A,且∈A(b≠0)”的集合A为“闭集”.试问数集N,Z,Q,R是否分别为“闭集”?若是,请说明理由;若不是,请举反例说明.
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【题目】如图,在直角梯形中, , , ,点是边的中点,将沿折起,使平面平面,连接, , ,得到如图所示的几何体.
(Ⅰ)求证: 平面.
(Ⅱ)若, 与其在平面内的正投影所成角的正切值为,求点到平面的距离.
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【题目】为推动乒乓球运动的发展,某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员名,其中种子选手名;乙协会的运动员名,其中种子选手名.从这名运动员中随机选择人参加比赛.
(1)设为事件“选出的人中恰有名种子选手,且这名种子选手来自同一个协会”求事件发生的概率;
(2)设为选出的人中种子选手的人数,求随机变量的分布列和数学期望.
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