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(2012•梅州二模)如图,已知斜三棱柱ABC-A1B1C1中,点B1在底面ABC上的射影落在BC上,CA=CB=a,AB=
2
a

(1)求证:AC⊥平面BCC1B1
(2)当BB1与底面ABC所成的角为60°,且AB1⊥BC1时,求点B1到平面AC1的距离.
分析:(1)先证明AC⊥BC,利用点B1在底面ABC上的射影落在BC上,可得侧面BCC1B1⊥底面ABC,从而可得AC⊥平面BCC1B1
(2)先证明B1BC是等边三角形,取BC的中点D,连接B1D,则B1D为三棱柱的高,利用等体积可求点B1到平面AC1的距离.
解答:(1)证明:∵CA=CB=a,AB=
2
a
,∴AB2=CA2+CB2,∴AC⊥BC
∵点B1在底面ABC上的射影落在BC上,
∴侧面BCC1B1⊥底面ABC,
∵侧面BCC1B1∩底面ABC=BC
∴AC⊥平面BCC1B1
(2)解:∵点B1在底面ABC上的射影落在BC上,

∴∠B1BC=60°
∵AC⊥平面BCC1B1
∴BC1⊥AC
∵AB1⊥BC1,AB1∩AC=A
∴BC1⊥平面AB1C
∴BC1⊥B1C
∵BCC1B1是平行四边形,∴BCC1B1是菱形
∴△B1BC是等边三角形
取BC的中点D,连接B1D,则B1D⊥BC
∵侧面BCC1B1⊥底面ABC,
∴B1D⊥底面ABC,
∴B1D为三棱柱的高,B1D=
3
2
a
,S△ABC=
a2
2

VABC-A1B1C1=
3
a3
4

VB1-ACC1A1=
2
3
V
ABC-A1B1C1
=
3
a3
6

∵AC⊥平面BCC1B1
∴CC1⊥AC
∴四边形ACC1A1是边长为a的正方形
设点B1到平面AC1的距离为d,则有
1
3
da2=
3
a3
6
,∴d=
3
2
a

∴点B1到平面AC1的距离为
3
2
a
点评:本题考查线面垂直,考查点到面的距离,掌握面面垂直的性质,正确求体积是关键.
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907  966  191  925  271  932  812  458
569  683  431  257  393  027  556  488
730  113  537  989
据此估计,计算该社区3个居民中恰好有2个月收入在[2000,3000)(元)的概率.
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-
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