Question

【题目】如图所示，某街道居委会拟在EF地段的居民楼正南方向的空白地段AE上建一个活动中心，其中AE=30米．活动中心东西走向，与居民楼平行．从东向西看活动中心的截面图的下部分是长方形ABCD，上部分是以DC为直径的半圆．为了保证居民楼住户的采光要求，活动中心在与半圆相切的太阳光线照射下落在居民楼上的影长GE不超过2.5米，其中该太阳光线与水平线的夹角θ满足 ．
（1）若设计AB=18米，AD=6米，问能否保证上述采光要求？
（2）在保证上述采光要求的前提下，如何设计AB与AD的长度，可使得活动中心的截面面积最大？（注：计算中π取3）

Answer 1

【答案】
（1）解：如图所示，以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系．

因为AB=18，AD=6，所以半圆的圆心为H（9，6），

半径r=9．设太阳光线所在直线方程为 ，

即3x+4y﹣4b=0，

则由 ，

解得b=24或 （舍）．

故太阳光线所在直线方程为 ，

令x=30，得EG=1.5米＜2.5米．

所以此时能保证上述采光要求

（2）解：设AD=h米，AB=2r米，则半圆的圆心为H（r，h），半径为r．

方法一：设太阳光线所在直线方程为 ，

即3x+4y﹣4b=0，由 ，

解得b=h+2r或b=h﹣2r（舍）

故太阳光线所在直线方程为 ，

令x=30，得 ，由 ，得h≤25﹣2r

所以 = ．

当且仅当r=10时取等号．

所以当AB=20米且AD=5米时，可使得活动中心的截面面积最大

方法二：欲使活动中心内部空间尽可能大，则影长EG恰为2.5米，则此时点G为（30，2.5），

设过点G的上述太阳光线为l1，则l1所在直线方程为y﹣ =﹣ （x﹣30），

即3x+4y﹣100=0

由直线l1与半圆H相切，得 ．

而点H（r，h）在直线l1的下方，则3r+4h﹣100＜0，

即 ，从而h=25﹣2r

又 = ．

当且仅当r=10时取等号．

所以当AB=20米且AD=5米时，可使得活动中心的截面面积最大

【解析】（1）以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系．设太阳光线所在直线方程为 ，利用直线与圆相切，求出直线方程，令x=30，得EG=1.5米＜2.5米，即可得出结论；（2）方法一：设太阳光线所在直线方程为 ，利用直线与圆相切，求出直线方程，令x=30，得h≤25﹣2r，即可求出截面面积最大； 方法二：欲使活动中心内部空间尽可能大，则影长EG恰为2.5米，即可求出截面面积最大