[题目]为了监控某种零件的一条生产线的生产过程.检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件.并测量其尺寸(单位:cm).根据长期生产经验.可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布.(1)假设生产状态正常.记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在之外的零件数.求及X的数学期望,(2)一天内抽检零件中.如果出现了尺寸在之外的零件.就� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

【题目】为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）.根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布.

（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在之外的零件数，求及X的数学期望；

（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查.

（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；

（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：

9.95	10.12	9.96	9.96	10.01	9.92	9.98	10.04
10.26	9.91	10.13	10.02	9.22	10.04	10.05	9.95

经计算得，，其中xi为抽取的第i个零件的尺寸，.

用样本平均数作为μ的估计值，用样本标准差s作为σ的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到0.01）.

附：若随机变量Z服从正态分布，则，，.

【答案】（1），（2）（ⅰ）见详解；（ⅱ）需要. ,

【解析】

（1）依题知一个零件的尺寸在之内的概率，可知尺寸在之外的概率为0.0026，而，进而可以求出的数学期望.

（2）（i）判断监控生产过程的方法的合理性，重点是考虑一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在之外的零件的概率是大还是小，若小即合理；

（ii）计算，剔除之外的数据，算出剩下数据的平均数，即为的估计值，剔除之外的数据，剩下数据的样本方差，即为的估计值.

（1）抽取的一个零件的尺寸在之内的概率为0.9974，

从而零件的尺寸在之外的概率为0.0026，

故.

因此.

的数学期望为.

（2）（i）如果生产状态正常，

一个零件尺寸在之外的概率只有0.0026，

一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在之外的零件

概率只有0.0408，发生的概率很小.

因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程

可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，

可见上述监控生产过程的方法是合理的.

（ii）由，

得的估计值为，的估计值为，

由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在之外，

因此需对当天的生产过程进行检查.

剔除之外的数据，

剩下数据的平均数为，

因此的估计值为.

，

剔除之外的数据，

剩下数据的样本方差为，

因此的估计值为.

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（1）为调查社区居民喜欢担任垃圾分类志愿者是否与性别有关，现随机选取了一部分社区居民进行调查，其中被调查的男性居民和女性居民人数相同，男性居民中不喜欢担任垃圾分类志愿者占男性居民的，女性居民中不喜欢担任垃圾分类志愿者占女性居民的，若研究得到在犯错误概率不超过0.010的前提下，认为居民喜欢担任垃圾分类志愿者与性别有关，则被调查的女性居民至少多少人？

附，，

	0.100	0.050	0.010	0.005	0.001
	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828

（2）某垃圾站的日垃圾分拣量（千克）与垃圾分类志愿者人数（人）满足回归直线方程，数据统计如下：

志愿者人数（人）	2	3	4	5	6
日垃圾分拣量（千克）	25	30	40	45

已知，，，根据所给数据求和回归直线方程，附：，．

（3）用（2）中所求的线性回归方程得到与对应的日垃圾分拣量的估计值．当分拣数据与估计值满足时，则将分拣数据称为一个“正常数据”．现从5个分拣数据中任取3个，记表示取得“正常数据”的个数，求的分布列和数学期望．

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