Question

【题目】如图为某大河的一段支流，岸线近似满足∥宽度为7圆为河中的一个半径为2的小岛，小镇位于岸线上，且满足岸线现计划建造一条自小镇经小岛至对岸的通道（图中粗线部分折线段，在右侧），为保护小岛，段设计成与圆相切，设

（1）试将通道的长表示成的函数，并指出其定义域.

（2）求通道的最短长.

Answer 1

【答案】（1）(2)

【解析】

(1) 过点作于点，以为原点，建立如图所示的直角坐标系，先求出，

再求出，即可求出，再求函数的定义域.(2)利用导数求函数的最小值,即得通道ABC的最短长．

(1)过点作于点，

因为与的距离为，

所以，

以为原点，建立如图所示的直角坐标系，

因为，所以设，

则直线的方程为，即

因为与圆相切，圆的半径为，

所以，

因为，所以，

即，

所以，

由于，所以，

令，

则因为函数在上单调递减，所以，

即函数的定义域为.

(2

令，得，则，其中，且.

由，得，

		0	+
		极小值

所以当时，，

即通道的最短长为.