Question

已知函数f（x）=x²-2ax+4b²，a，b∈R
（1）若a从集合{0，1，2，3}中任取一个元素，b从集合{0，1，2}中任取一个元素，求方程f（x）=0有两个不相等实根的概率；
（2）若a从区间[0，2]中任取一个数，b从区间[0，3]中任取一个数，求方程f（x）=0没有实根的概率．

Answer 1

解：（1）∵a为取集合{0，1，2，3}中任一个元素，b为取集合{0，1，2}中任一个元素，
∴a，b的取值的情况有（0，0），（0，1），（0，2），（1，0），（1，1），（1，2），
（2，0），（2，1），（2，2）（3，0），（3，1），（3，2）．其中第一个数表示a的取值，
第二个数表示b的取值，即基本事件总数为：12．
设“方程f（x）=0有两个不相等的实根”为事件A，
当a≥0，b≥0时，方程f（x）=0有两个不相等实根的充要条件为：a＞2b．
当a＞2b时，a，b取值的情况有（1，0），（2，0），（3，0），（3，1），
即A包含的基本事件数为：4，
∴方程f（x）=0有两个不相等实根的概率：
（2）∵a是从区间[0，2]中任取一个数，b是从区间[0，3]中任取一个数，
则试验的全部结果构成区域Ω={（a，b）|0≤a≤2，0≤b≤3}，
这是一个矩形区域，其面积S_Ω=2×3=6．
设“方程f（x）=0没有实根”为事件B，则事件B所构成的区域为
M={（a，b）|0≤a≤2，0≤b≤3，a＜2b}，
它所表示的部分为梯形，其面积
由几何概型的概率计算公式可得方程f（x）=0没有实根的概率：
分析：（1）为古典概型，只需列举出所有的基本事件和符合条件的基本事件，作比值即可；
（2）为几何概型，只要得出两个区域的面积，由几何概型的公式可得．
点评：本题以一元二次方程的根为载体，考查古典概型和几何概型，属基础题．