Question

如图，F是定直线l外的一个定点，C是l上的动点，有下列结论：若以C为圆心，CF为半径的圆与l交于A、B两点，过A、B分别作l的垂线与圆

C过F的切线交于点P和点Q，则P、Q必在以F为焦点，l为准线的同一条抛物线上.

（Ⅰ）建立适当的坐标系，求出该抛物线的方程；

（Ⅱ）对以上结论的反向思考可以得到另一个命题：

“若过抛物线焦点F的直线与抛物线交于P、Q两点，

则以PQ为直径的圆一定与抛物线的准线l相切”请

问：此命题是否正确？试证明你的判断；

（Ⅲ）请选择椭圆或双曲线之一类比（Ⅱ）写出相应的命题并

证明其真假.（只选择一种曲线解答即可，若两种都选，则以第一选择为评分依据）

Answer 1

（1）（2）该命题为真命题（3）见解析

解析:

（Ⅰ）过F作l的垂线交l于K，以KF的中点为原点，KF所在的直线为x轴建立平面直角坐标系如图1，并设|KF|=p，则可得该该抛物线的

方程为 .

（Ⅱ）该命题为真命题，证明如下：

如图2，设PQ中点为M，P、Q、M在抛物线

准线l上的射影分别为A、B、D，

    ∵PQ是抛物线过焦点F的弦，

∴ |PF|=|PA|，|QF|=|QB|，又|MD|是梯形APQB

的中位线，

   ∴ .

   ∵M是以PQ为直径的圆的圆心，∴圆M与l相切.

（Ⅲ）选择椭圆类比（Ⅱ）所写出的命题为：

“过椭圆一焦点F的直线与椭圆交于P、Q两点，

则以PQ为直径的圆一定与椭圆相应的准线l相离”.

此命题为真命题……10分

证明如下：

 证明：设PQ中点为M，椭圆的离心率为e，

则0<e<1，P、Q、M在相应准线l上的射影分别为A、B、D，

∵，∴； 同理得 .

∵|MD|是梯形APQB的中位线，

∴.

∴圆M与准线l相离.

选择双曲线类比（Ⅱ）所写出的命题为：

 “过双曲线一焦点F的直线与双曲线交于P、Q两点，则以PQ为直径的圆一定与双曲线相应的准线l相交”. 此命题为真命题，证明如下：……………………11分

  证明：设PQ中点为M，双曲线的离心率为e，则e>1，P、Q、M在相应准线l上的 射影分别为A、B、D，

∵，∴； 同理得 .

∵|MD|是梯形APQB的中位线，

∴.

∴圆M与准线l相交.