Question

以椭圆的右焦点F₂为圆心作一个圆，使此圆过椭圆的中心O并交椭圆于点M、N，若过椭圆的左焦点F₁的直线MF₁是圆F₂的切线，则椭圆的离心率为

3

-1

．

Answer 1

分析：圆的切线垂直于过切点的半径，故三角形MF₁F₂是直角三角形，又|MF₂|=|OF₂|=c，|MF₁|+|MF₂|=2a，|F₁F₂|=2c，根据勾股定理建立等式求得e

解答：解：由题意得：|MF₂|=|OF₂|=c，|MF₁|+|MF₂|=2a，|F₁F₂|=2c
直角三角形MF₁F₂中，|MF₁|²+|MF₂|²=|F₁F₂|²，即（2a-c）²+c²=4c²，
整理得2a²-2ac-c²=0，即e²+2e-2=0，解得e=

3

-1
故答案为：

3

-1

点评：本题考查了圆与圆锥曲线的综合、圆的切线和椭圆的简单性质等知识点，属于中档题．