【题目】已知数列{an}各项均不相同,a1=1,定义,其中n,k∈N*.
(1)若,求;
(2)若bn+1(k)=2bn(k)对均成立,数列{an}的前n项和为Sn.
(i)求数列{an}的通项公式;
(ii)若k,t∈N*,且S1,Sk-S1,St-Sk成等比数列,求k和t的值.
【答案】(1);(2)(i);(ii)k=2,t=3.
【解析】
(1)当时,由新定义可得,利用累加法可得结果;
(2)(i)若bn+1(k)=2bn(k)对均成立,由新定义可得,从而得到数列{an}的通项公式;(ii)由(i)可知Sn=2n-1.因为S1,Sk-S1,St-Sk成等比数列,
可得2t-2=(2k-1)2-32k-2+1对k分类讨论可知k和t的值.
(1)因为,
所以,
所以.
(2)(i)因为bn+1(k)=2bn(k),
得 ,
令k=1, ,……………①
k=2,,……………②
由①得,……………③
②+③得,……………④
①+④得,
又,所以数列是以1为首项,2为公比的等比数列,
所以.
(ii)由(i)可知Sn=2n-1.
因为S1,Sk-S1,St-Sk成等比数列,
所以(Sk-S1)2=S1(St-Sk),即(2k-2)2=2t-2k,
所以2t=(2k)2-32k+4,即2t-2=(2k-1)2-32k-2+1(*).
由于Sk-S1≠0,所以k≠1,即k≥2.
当k=2时,2t=8,得t=3.
当k≥3时,由(*),得(2k-1)2-32k-2+1为奇数,
所以t-2=0,即t=2,代入(*)得22k-2-32k-2=0,即2k=3,此时k无正整数解.
综上,k=2,t=3.
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【题目】如图,已知三棱锥O—ABC的侧棱OA,OB,OC两两垂直,且OA=1,OB=OC=2,E是OC的中点.
(1)求异面直线BE与AC所成角的余弦值;
(2)求二面角A—BE—C的余弦值.
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【题目】已知f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数,且满足f(xy)=f(x)+f(y),f(2)=1.
(1)求f(8)的值;
(2)求不等式f(x)-f(x-2)>3的解集.
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【题目】如图,某镇有一块空地,其中,,.当地镇政府规划将这块空地改造成一个旅游景点,拟在中间挖一个人工湖,其中M,N都在边上,且,挖出的泥土堆放在地带上形成假山,剩下的地带开设儿童游乐场.为安全起见,需在的周围安装防护网.
(1)当时,求防护网的总长度;
(2)为节省资金投入,人工湖的面积要尽可能小,设,问:当多大时的面积最小?最小面积是多少?
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【题目】已知函数,是偶函数.
(1)求的值;
(2)若函数的图象在直线上方,求的取值范围;
(3)若函数,,是否存在实数使得的最小值为?若存在,求出的值,若不存在,请说明理由.
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