Question

10．如图，△ABC为边长为2的正三角形，AE∥CD，且AE⊥平面ABC，2AE=CD=2．
（1）求证：平面BDE⊥平面BCD；
（2）求三棱锥D-BCE的高．

Answer 1

分析 （1）取BD边的中点F，BC的中点为G，连接AG，FG，EF，证明AG∥EF，由AG⊥平面BCD可知，EF⊥平面BCD，即可证明平面BDE⊥平面BCD；
（2）利用等体积方法，即可求三棱锥D-BCE的高．

解答 （1）证明：取BD边的中点F，BC的中点为G，连接AG，FG，EF，
由题意可知，FG是△BCD的中位线
所以FG∥AE且FG=AE，即四边形AEFG为平行四边形，
所以AG∥EF
由AG⊥平面BCD可知，EF⊥平面BCD，又EF?面BDE，
故平面BDE⊥平面BCD；
（2）解：过B做BK⊥AC，垂足为K，因为AE⊥平面ABC，
所以BK⊥平面ACDE，且$BK=2×\frac{{\sqrt{3}}}{2}=\sqrt{3}$
所以V_{四棱锥B-ACDE}=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}（1+2）$×$2×\sqrt{3}=\sqrt{3}$V_{三棱锥E-ABC}=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×$$\sqrt{3}×1=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
所以V_{三棱锥D-BCE}=V_{四棱锥B-ACDE}-V_{三棱锥E-ABC}=$\sqrt{3}-\frac{{\sqrt{3}}}{3}=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$
因为AB=AC=2，AE=1，所以$BE=CE=\sqrt{5}$，又BC=2
所以${S_{△ECB}}=\frac{1}{2}×2×$$\sqrt{5-1}=2$
设所求的高为h，则由等体积法得$\frac{1}{3}×2×h$=$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$
所以$h=\sqrt{3}$．

点评 本题考查平面与平面垂直的证明和求三棱锥的高，解题时要认真审题，注意把空间几何问题等价转化为平面几何问题．