Question

已知函数f(x)=ax3-3x2+1-

3

a

．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）若曲线y=f（x）上两点A，B处的切线都与y轴垂直，且线段AB与x轴有公共点，求实数a的取值范围．
（3）当x∈[-1，2]时，函数y=f（x）的图象上任意一点的切线斜率恒大于3a，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先对函数f（x）进行求导，根据导函数大于0原函数单调递增，导函数小于0原函数单调递减进行讨论．
（2）由题意可值点AB应是函数f（x）的极值点，再根据线段AB与x轴有公共点可知以 f(0)•f(

2

a

)≤0，从而得到答案．
（3）本小问可转化成f′（x）=3ax²-6x＞3a在区间[-1，2]恒成立，即3ax²-6x-3a＞0在区间[-1，2]恒成立，将x=-1和x=2代入使之成立，即可求出a的范围．

解答：解：（1）由题设知a≠0，f′(x)=3ax2-6x=3ax(x-

2

a

)．
令f′（x）=0得x1=0，x2=

2

a

．
①当a＞0时，若x∈（-∞，0），则f′（x）＞0，则f（x）在区间（-∞，0）上是增函数；
若x∈(0，

2

a

)，则f′（x）＜0，则f（x）在区间(0，

2

a

)上是减函数；
若x∈(

2

a

，+∞)，则f′（x）＞0，则f（x）在间(

2

a

，+∞)上是增函数．
②当a＜0时，若a≤-2，则a≥1，则f（x）在区间(-∞，

2

a

)上是减函数；
若x∈(

2

a

，0)，则f′（x）＞0，则f（x）在区间(

2

a

，0)上是增函数；
若x∈（0，+∞），则f′（x）＜0，则f（x）在区间（0，+∞）上是减函数．
（2）由（1）的讨论及题设知，曲线y=f（x）上的两点A、B的纵坐标均为函数的极值．
且函数y=f（x）在x=0，x=

2

a

处分别取得极值f(0)=1-

3

a

，f(

2

a

)=-

4

a2

-

3

a

+1．
因为线段AB与x轴有公共点，所以f(0)•f(

2

a

)≤0，
即(-

4

a2

-

3

a

+1)(1-

3

a

)≤0．所以

(a+1)(a-3)(a-4)

a3

≤0．
故a（a+1）（a-3）（a-4）≤0且a≠0．解得-1≤a＜0或3≤a≤4
即所求实数a的取值范围是[-1，0）∪[3，4]．
（3）可转化成f′（x）=3ax²-6x＞3a在区间[-1，2]恒成立，
即3ax²-6x-3a＞0在区间[-1，2]恒成立，
将x=-1和x=2代入使之成立，解得a＞

3

4

∴a的取值范围（

3

4

，+∞）

点评：本题主要考查函数的单调性、极值点与其导函数之间的关系．导数是高等数学下放到高中，是高考的热点问题，每年必考要给予重视．