Question

设函数f（x）=lnx+

1

x

，
（1）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）求函数f（x）在[

1

2

，2]的最值．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：计算题,导数的概念及应用,导数的综合应用

分析：（1）求导f′（x）=

1

x

-

1

x2

=

x-1

x2

，从而确定导数及切点的坐标，从而求切线方程；
（2）由导数判断函数的单调性，从而求最值．

解答： 解：（1）易知函数的定义域为{x|x＞0}，
又∵f′（x）=

1

x

-

1

x2

=

x-1

x2

，
∴f′（1）=0，又f（1）=1；
所以切线方程为：y=1；
（2）x，f（x），f′（x）列表如下：

x	1 2	（ 1 2 ，1）	1	（1，2）	2
f′（x）		+	0	-
f（x）	2-ln2	↓	极小值1	↑	1 2 +lln2

∴函数的最小值是f（1）=1； 
又∵f（

1

2

）-f（2）=

3

2

-ln4=

1

2

ln

e3

16

＞0，
∴函数的最大值是f（

1

2

）=2-ln2．

点评：本题考查了导数的几何意义与导数的综合应用，属于中档题．