Question

已知函数，其中a为常数．
（1）当时，求的最大值；
（2）若在区间（0，e］上的最大值为，求a的值；
（3）当时，试推断方程=是否有实数解．

Answer 1

(1)=f（1）=-1；(2)a=；(3)方程|f（x）|=没有实数解.

解析试题分析：(1)当a=-1时，f（x）=-x+lnx，f′(x)=－1+
由0<x<1时，f′(x)>0；当x>1时，f′(x)<0.
知f（x）在（0，1）上是增函数，在（1，+∞）上是减函数，从而=f（1）=-1.
(2)利用导数确定函数的最大值得，=f=-1+ln
由-1+ln=-3，即得a=.
(3)由（1）知当a=-1时=f（1）=-1，可知|f（x）|≥1；
应用导数研究g（x）=,得到=g（e）=<1,即g(x)<1，
根据|f（x）|>g(x),即|f(x)|>知方程|f（x）|=没有实数解.
试题解析：(1)当a=-1时，f（x）=-x+lnx，f′(x)=－1+
当0<x<1时，f′(x)>0；当x>1时，f′(x)<0.
∴f（x）在（0，1）上是增函数，在（1，+∞）上是减函数，=f（1）=-14分
(2)∵f′(x)=a+，x∈(0,e］，∈
①若a≥，则f′(x)≥0，f(x)在(0,e］上增函数
∴=f（e）=ae+1≥0.不合题意 5分
②若a<，则由f′(x)>0>0，即0<x<
由f(x)<0<0，即<x≤e.从而f(x)在上增函数,在为减函数
∴=f=-1+ln
令-1+ln=-3，则ln=-2∴=，即a=.
∵<,
∴a=为所求     8分
(3)由（1）知当a=-1时=f（1）=-1，
∴|f（x）|≥1
又令g（x）=,g′（x）=,令g′(x)=0，得x=e,
当0<x<e时，g′(x)>0,g(x)在(0,e)单调递增；当x>e时,g′(x)<0，g(x)在(e,+∞)单调递减∴=g（e）=<1,∴g(x)<1
∴|f（x）|>g(x),即|f(x)|>∴方程|f（x）|=没有实数解.  12分
考点：应用导数研究函数的单调性、最（极）值，转化与化归思想，不等式恒成立问题，函数与方程.