【题目】已知函数,.
(1)若,且直线是曲线的一条切线,求实数的值;
(2)若不等式对任意恒成立,求的取值范围;
(3)若函数有两个极值点,,且,求的取值范围.
【答案】(1) (2) (3)
【解析】
(1)代入a的值,根据切线方程得到关于x0的方程,求出切点坐标,解出m即可;
(2)问题转化为alnx1>0,记g(x)=alnx1,通过讨论a的范围,求出函数的单调区间,从而确定a的范围即可;
(3)法一:求出h(x2)﹣h(x1)的解析式,记m(x)=2[(x)lnxx],x≥1,根据函数的单调性求出a的范围即可;
法二:由h(x)=f(x)﹣x=alnxx,x>0,以及h(x)有两个极值点x1,x2(x1<x2),得到x1+x2=a,x1x2=1,设t2(t>1),从而h(x2)﹣h(x1) 等价于 h(t)=(t)lntt,t>1,记m(x)=(x)lnxx,x≥1,根据函数的单调性求出a的范围即可.
(1)当时, ,.
设直线与曲线相切于点,
则,即,
解得,即切点为,
因为切点在上,所以,解得.
(2)不等式可化为.
记, 则对任意恒成立.
考察函数, ,.
当时, ,在上单调递减,又,
所以,不合题意;
当时, ,;, ,
所以在上单调递减,在上单调递增,
若,即时,在上单调递增,
所以时, ,符合题意;
若,即时,在上单调递减,
所以当时, ,不符合题意;
综上所述,实数的取值范围为.
(3)方法一:,,.
因为有两个极值点, ,
所以,即的两实数根为, , ,
所以, , ,所以, ,
从而
.
记,.
则 (当且仅当时取等号),
所以在上单调递增,又,
不等式可化为,所以.
因为,且在上递增,所以,
即的取值范围为.
方法二:, ,.
因为有两个极值点, ,
所以,即的两实数根为, , ,
所以, , ,所以,.
设,则, ,所以, , ,
从而等价于,.
记,.
则 (当且仅当时取等号),
所以在上单调递增.
又, ,所以.
因为,且在上递增,所以,
即的取值范围为.
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【题目】已知直线是抛物线的准线,直线,且与抛物线没有公共点,动点在抛物线上,点到直线和的距离之和的最小值等于2.
(Ⅰ)求抛物线的方程;
(Ⅱ)点在直线上运动,过点做抛物线的两条切线,切点分别为,在平面内是否存在定点,使得恒成立?若存在,请求出定点的坐标,若不存在,请说明理由.
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【题目】已知函数,.
(1)若,且直线是曲线的一条切线,求实数的值;
(2)若不等式对任意恒成立,求的取值范围;
(3)若函数有两个极值点,,且,求的取值范围.
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【题目】第一届“一带一路”国际合作高峰论坛于2017年5月14日至15日在北京举行,这是2017年我国重要的主场外交活动,对推动国际和地区合作具有重要意义.某高中政教处为了调查学生对“一带一路”的关注情况,在全校组织了“一带一路知多少”的知识问卷测试,并从中随机抽取了12份问卷,得到其测试成绩(百分制),如茎叶图所示.
(1)写出该样本的众数、中位数,若该校共有3000名学生,试估计该校测试成绩在70分以上的人数;
(2)从所抽取的70分以上的学生中再随机选取4人.
①记表示选取4人的成绩的平均数,求;
②记表示测试成绩在80分以上的人数,求的分布和数学期望.
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【题目】已知中心在原点,焦点在轴上,离心率为的椭圆过点.
(1)求椭圆的方程;
(2)设椭圆与轴的非负半轴交于点,过点作互相垂直的两条直线,分别交椭圆于两点,连接,求的面积的最大值.
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【题目】是抛物线为上的一点,以S为圆心,r为半径做圆,分别交x轴于A,B两点,连结并延长SA、SB,分别交抛物线于C、D两点.
求抛物线的方程.
求证:直线CD的斜率为定值.
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