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【题目】已知函数.

(1)讨论的单调性;

(2)当时,记在区间的最大值为,最小值为,求的取值范围.

【答案】(1)见详解;(2) .

【解析】

(1)先求的导数,再根据的范围分情况讨论函数单调性;(2) 讨论的范围,利用函数单调性进行最大值和最小值的判断,最终求得的取值范围.

(1)求导得.所以有

时,区间上单调递增,区间上单调递减,区间上单调递增;

时,区间上单调递增;

时,区间上单调递增,区间上单调递减,区间上单调递增.

(2)

在区间单调递减,在区间单调递增,所以区间上最小值为.,故所以区间上最大值为.

所以,设函数,求导从而单调递减.,所以.的取值范围是.

在区间单调递减,在区间单调递增,所以区间上最小值为,故所以区间上最大值为.

所以,而,所以.的取值范围是.

综上得的取值范围是.

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