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    已知函数f（x）的定义域为[0，1]，且同时满足：①f（1）=3；②f（x）≥2对一切x∈[0，1]恒成立；③若x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1，则有f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）-2
    （1）求f（0）的值
    （2）设s，t∈[0，1]，且s＜t，求证：f（s）≤f（t）
    （3）试比较f(
    1
    2n
    )    与
    1
    2n
    +2    （n∈N）的大小；
    （4）某同学发现，当x=
    1
    2n
    （n∈N）时，有f（x）＜2x+2，由此他提出猜想：对一切x∈（0，1]，都有f（x）＜2x+2，请你判断此猜想是否正确，并说明理由．
    分析：（1）由③，令x1=x2=0，结合f（0）≥2可求f（0）的值
    （2）设s，t∈[0，1]，且s＜t，则t-s∈[0，1]．从而f（t）=f[（t-s）+s]≥f（t-s）+f（s）-2，故f（t）-f（s）≥f（t-s）-2≥0．可得f（t）≥f（s）．
    （3）题中条件：f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）-2，令x1=x2=
    1
    2n
    ，得 f(
    1
    2n-1
    )≥2f(
    1
    2n
    )-2    ，利用它进行放缩，可证得答案，
    （4）因为由题意可得：对x∈[0，1]，总存在n∈N，满足
    1
    2n+1
    ＜x≤
    1
    2n
    ．结合（I）、（II）可证得（III）．
    解答：解：（1）由③，令x1=x2=0，f（0）≥f（0）+f（0）-2，∴f（0）≤2
    又f（0）≥2，则f（0）=2；
    （2）设s，t∈[0，1]，且s＜t，则t-s∈[0，1]．
    ∴f（t）=f[（t-s）+s]≥f（t-s）+f（s）-2．
    ∴f（t）-f（s）≥f（t-s）-2≥0．∴f（t）≥f（s）．
    （3）在③中，令x1=x2=
    1
    2n
    ，得 f(
    1
    2n-1
    )≥2f(
    1
    2n
    )-2    （8分）
    ∴f(
    1
    2n
    )-2≤
    1
    2
    [f(
    1
    2n-1
    )-2]≤
    1
    22
    [f(
    1
    2n-2
    )-2]≤
    1
    2n
    [f(
    1
    2n-n
    )-2]=
    1
    2n

    则 f(
    1
    2n
    )≤
    1
    2n
    +2    ． （11分）
    （Ⅲ）对x∈[0，1]，总存在n∈N，满足
    1
    2n+1
    ＜x≤
    1
    2n
    ． （13分）
    由（Ⅰ）与（Ⅱ），得 f(x)≤f(
    1
    2n
    )≤
    1
    2n
    +2    ，又2x+2＞2•
    1
    2n+1
    +2=
    1
    2n
    +2．
    ∴f（x）＜x+2．
    综上所述，对任意x∈[0，1]．f（x）＜x+2恒成立． （16分）
    点评：本题考查了抽象函数，抽象函数是相对于给出具体解析式的函数来说的，它虽然没有具体的表达式，但是有一定的对应法则，满足一定的性质，这种对应法则及函数的相应的性质是解决问题的关键．抽象函数的抽象性赋予它丰富的内涵和多变的思维价值，可以考查类比猜测，合情推理的探究能力和创新精神．
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    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知函数f（x）=log3
    		3
    x
    1-x
    ，M(x1，y1)，N(x2，y2)    是f（x）图象上的两点，横坐标为
    1
    2
    的点P满足2
    OP
    =
    OM
    +
    ON
    （O为坐标原点）．
    （Ⅰ）求证：y1+y2为定值；
    （Ⅱ）若Sn=f(
    1
    n
    )+f(
    2
    n
    )+…+f(
    n-1
    n
    )    ，其中n∈N*，且n≥2，求Sn；
    （Ⅲ）已知an=
    1
    6
    ，                          n=1
    1
    4(Sn+1)(Sn+1+1)
    ，n≥2
    ，其中n∈N*，Tn为数列{an}的前n项和，若Tn＜m（Sn+1+1）对一切n∈N*都成立，试求m的取值范围．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    下列说法正确的有（　　）个．
    ①已知函数f（x）在（a，b）内可导，若f（x）在（a，b）内单调递增，则对任意的?x∈（a，b），有f′（x）＞0．
    ②函数f（x）图象在点P处的切线存在，则函数f（x）在点P处的导数存在；反之若函数f（x）在点P处的导数存在，则函数f（x）图象在点P处的切线存在．
    ③因为3＞2，所以3+i＞2+i，其中i为虚数单位．
    ④定积分定义可以分为：分割、近似代替、求和、取极限四步，对求和In=
    n
    i=1
    f(ξi)△x    中ξi的选取是任意的，且In仅于n有关．
    ⑤已知2i-3是方程2x2+px+q=0的一个根，则实数p，q的值分别是12，26．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知函数f（x）=sin（2x-
    π
    6
    ），g（x）=sin（2x+
    π
    3
    ），直线y=m与两个相邻函数的交点为A，B，若m变化时，AB的长度是一个定值，则AB的值是（　　）

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （Ⅰ）已知函数f（x）=x3-x，其图象记为曲线C．
    （i）求函数f（x）的单调区间；
    （ii）证明：若对于任意非零实数x1，曲线C与其在点P1（x1，f（x1））处的切线交于另一点P2（x2，f（x2）），曲线C与其在点P2（x2，f（x2））处的切线交于另一点P3（x3，f（x3）），线段P1P2，P2P3与曲线C所围成封闭图形的面积记为S1，S2．则
    S1S2
    为定值；
    （Ⅱ）对于一般的三次函数g（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），请给出类似于（Ⅰ）（ii）的正确命题，并予以证明．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知函数f（x）=x3-ax+b存在极值点．
    （1）求a的取值范围；
    （2）过曲线y=f（x）外的点P（1，0）作曲线y=f（x）的切线，所作切线恰有两条，切点分别为A、B．
    （ⅰ）证明：a=b；
    （ⅱ）请问△PAB的面积是否为定值？若是，求此定值；若不是求出面积的取值范围．

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