Question

【题目】已知函数f（x）=x|x﹣2|．
（1）作出函数f（x）=x|x﹣2|的大致图象；
（2）若方程f（x）﹣k=0有三个解，求实数k的取值范围．
（3）若x∈（0，m]（m＞0），求函数y=f（x）的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：函数f（x）=x|x﹣2|= ，

由分段函数的画法，可得如图

（2）解：若方程f（x）﹣k=0有三个解，即函数f（x）图象与直线y=k有三个交点，

由图可得，当0＜k＜1时，有三个交点，即方程f（x）﹣k=0有三个解

（3）解：当0＜m≤1时，f（x）在（0，m]递增，f（m）取得最大值，且为2m﹣m2；

由x2﹣2x=1，解得x=1+ （1﹣ 舍去），

当1＜m≤1+ 时，由f（x）的图象可得f（1）取得最大值1；

当m＞1+ 时，由f（x）的图象可得f（m）取得最大值m2﹣2m．

综上可得，当0＜m≤1时，f（x）的最大值为2m﹣m2；

当1＜m≤1+ 时，f（x）的最大值为1；

当m＞1+ 时，f（x）的最大值为m2﹣2m．

【解析】（1）写出f（x）的分段形式，画出图象；（2）由题意可得，函数f（x）图象与直线y=k有三个交点，通过平移直线y=k，即可得到k 范围；（3）对m讨论，分当0＜m≤1时，当1＜m≤1+ 时，当m＞1+ 时，三种情况，通过图象和单调性，即可得到最大值．