Question

（2012•黄浦区一模）已知两点A（-1，0）、B（1，0），点P（x，y）是直角坐标平面上的动点，若将点P的横坐标保持不变、纵坐标扩大到

2

倍后得到点Q（x，

2y

）满足

AQ

•

BQ

=1．
（1）求动点P所在曲线C的轨迹方程；
（2）过点B作斜率为-

2

2

的直线i交曲线C于M、N两点，且满足

OM

+

ON

+

OH

=

0

（O为坐标原点），试判断点H是否在曲线C上，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）确定向量AQ，BQ的坐标，利用

AQ

•

BQ

=1，即可求动点P所在曲线C的轨迹方程；
（2）求出直线方程与椭圆联立，利用

OM

+

ON

+

OH

=

0

，求得点H的坐标代入曲线C的方程，验证可得结论．

解答：解（1）依据题意，有

AQ

 =(x+1，

2

y)，

BQ

=(x-1，

2

y)．
∵

AQ

•

BQ

=1，∴x²-1+2y²=1．
∴动点P所在曲线C的轨迹方程是

x2

2

+y²=1．
（2）因直线l过点B，且斜率为k=-

2

2

，故有l：y=-

2

2

（x-1）
联立直线与椭圆，消元可得2x²-2x-1=0．
设两曲线的交点为M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），可得得 x₁+x₂=1，x₁x₂=-

1

2

，
于是 x₁+x₂=1，y₁+y₂=

2

2

．
又

OM

+

ON

+

OH

=

0

，于是

OH

=（-x₁-x₂，-y₁-y₂），可得点H（-1，-

2

2

）．
将点H（-1，-

2

2

）的坐标代入曲线C的方程的左边，有

1

2

+

1

2

=1（=右边），即点H的坐标满足曲线C的方程．
所以点H在曲线C上．

点评：本题考查轨迹方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，属于中档题．