Question

已知某几何体的直观图与它的三视图，其中俯视图为正三角形，其它两个视图是矩形．已知D是这个几何体的棱A₁C₁上的中点．

（Ⅰ）求出该几何体的体积；
（Ⅱ）求证：直线BC₁∥平面AB₁D；
（Ⅲ）求证：直线B₁D⊥平面AA₁D．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由三视图可知：该几何体是一个正三棱柱，底面是高为

3

的正三角形，三棱柱的高为h=3．先求出底面正三角形的面积，代入正三棱柱的体积计算公式即可得出；
（Ⅱ）由三角形的中位线定理可得OD∥BC₁．结合线面平行的判定定理即可证明直线BC₁∥平面AB₁D；
（III）由等边三角形三线合一可得B₁D⊥A₁C₁，根据正三棱柱的几何特征可得平面A₁B₁C₁⊥平面ACC₁A₁，结合面面垂直的性质定理，可得直线B₁D⊥平面AA₁D

解答：解：（Ⅰ）由三视图可知：该几何体是一个正三棱柱，底面是高为

3

的正三角形，三棱柱的高为h=3．
由底面是高为

3

的正三角形，可得底面正三角形的边长为2，
因此S_底面△ABC=

3

4

×2²=

3

．
∴此正三棱柱的体积V=Sh=3

3

．
（Ⅱ）连接A₁B交AB₁于点O，连接OD，
由矩形ABB₁A₁，可得A₁O=OB．
又∵D是这个几何体的棱A₁ C₁的中点，
∴OD是三角形A₁BC₁的中位线，
∴OD∥BC₁．
∵BC₁?平面AB₁D，OD?平面AB₁D，
∴BC₁∥平面AB₁D．
（Ⅲ）在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，三角形A₁B₁C₁为正三角形，D是棱A₁C₁上的中点
∴B₁D⊥A₁C₁，
又由正三棱柱性质知平面A₁B₁C₁⊥平面ACC₁A₁，且平面A₁B₁C₁∩平面ACC₁A₁=A₁C₁，B₁D?平面A₁B₁C₁，
∴B₁D⊥平面AA₁D，

点评：由三视图可知正确得出该几何体是一个正三棱柱，熟练掌握正三角形的面积、正三棱柱的体积计算公式、三角形的中位线定理和线面平行的判定定理、面面垂直的性质定理是解答的关键．