Question

18．如图，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面边长是2，侧棱长是$\sqrt{3}$，D是AC的中点．
（Ⅰ）求证：B₁C∥平面A₁BD；
（Ⅱ）求二面角A-A₁B-D的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设AB₁与A₁B相交于点P，连接PD，则PD∥B₁C，由此能证明B₁C∥平面A₁BD．
（Ⅱ）取AB中点为O，A₁B₁中点为E，以O为原点OA为x轴，OE为y轴，OC为z轴，建立空间直角坐标系O-xyz．利用向量法能求出二面角A-A₁B-D的余弦值．

解答 证明：（Ⅰ）设AB₁与A₁B相交于点P，连接PD，则P为AB₁中点，
∵D为AC中点，∴PD∥B₁C，
又∵PD?平面A₁BD，
∴B₁C∥平面A₁BD…（5分）
解：（Ⅱ）取AB中点为O，A₁B₁中点为E点，由于△ABC为等边三角形所以CO⊥AB，
又因为是正三棱柱，所以$平面ABCC，且平面ABC\bigcap{\;}平面AB{B_1}{A_1}=AB$，
则CD⊥平面ABB₁A₁
以O为原点OA为x轴，OE为y轴，OC为z轴，建立空间直角坐标系O-xyz．
$\begin{array}{l}显然平面AB{B_1}{A_1}的法向量为\overrightarrow m=（0，0，1），\\ 设平面{A_1}BD的法向量为\overrightarrow n=（x，y，z），\\ \overrightarrow{B{A_1}}=（2，\sqrt{3}，0），\overrightarrow{BD}=（\frac{3}{2}，0，\frac{{\sqrt{3}}}{2}），\\ \left\{{\begin{array}{l}{\overrightarrow n•\overrightarrow{B{A_1}}=0}\\{\overrightarrow n•\overrightarrow{BD}=0}\end{array}}\right.\\ \overrightarrow n=（{\sqrt{3}，-2，3}）\\ cos＜\overrightarrow m，\overrightarrow n＞=\frac{3}{4}\end{array}$
所求二面角A-A₁B-D的余弦值为$\frac{3}{4}$…（12分）

点评 本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．