Question

已知

a

=(sinx，cosx)，

b

=(

3

cosx，cosx)，设函数f（x）=

a

•

b

（x∈R）
（1）求f（x）的最小正周期及单调递增区间；
（2）当x∈[-

π

6

，

5π

12

]时，求f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）将函数化简为单一函数，f（x）=

a

•

b

=（

3

2

sin2x+

1

2

cos2x+

1

2

=sin（2x+

π

6

）+

1

2

，然后运用周期公式得到结论．
（2）由（1）知f（x）=sin（2x+

π

6

）+

1

2

，结合定义域求解得到x∈[-

π

6

，

5π

12

]，2x+

π

6

∈[-

π

6

，π]，根据函数图象得到结论．

解答：解：（1）∵f（x）=

a

•

b

=

3

2

sin2x+

1

2

cos2x+

1

2

=sin（2x+

π

6

）+

1

2

，∴f（x）的最小正周期为π．                   
由-

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

π

2

+2kπ得，-

π

3

+kπ≤x≤

π

6

+kπ，（k∈Z），解得 -

π

3

+kπ ≤ x ≤ 

π

6

+kπ，
故f（x）的单调增区间为[-

π

3

+kπ，

π

6

+kπ]，（k∈Z）．  
（2）由（1）知f（x）=sin（2x+

π

6

）+

1

2

，又当 x∈[-

π

6

，

5π

12

]，2x+

π

6

∈[-

π

6

，π]，故 -

1

2

≤sin(2x+

π

6

)≤1，
从而 f（x）的值域为[0，

3

2

]．

点评：本试题主要是考查了两个向量的数量积公式，正弦函数的周期性、单调性、定义域和值域，属于中档题．