Question

已知f(x)是定义在集合M上的函数．若区间D⊆M，且对任意x₀∈D，均有f(x₀)∈D，则称函数f(x)在区间D上封闭．
(1)判断f(x)＝x－1在区间[－2,1]上是否封闭，并说明理由；
(2)若函数g(x)＝在区间[3,10]上封闭，求实数a的取值范围；
(3)若函数h(x)＝x³－3x在区间[a，b](a，b∈Z，且a≠b)上封闭，求a，b的值．

Answer 1

（1）函数f(x)在区间[－2,1]上不是封闭的
（2）[3,31]
（3）a＝－2，b＝2

解：(1)因为函数f(x)＝x－1在区间[－2,1]上单调递增，
所以当x∈[－2,1]时，f(x)的值域为[－3,0]．
而[－3,0]?[－2,1]，所以函数f(x)在区间[－2,1]上不是封闭的．
(2)因为g(x)＝＝3＋.
①当a＝3时，函数g(x)＝3，显然{3}⊆[3,10]，故a＝3满足题意；
②当a>3时，在区间[3,10]上，函数g(x)单调递减，此时g(x)的值域为.
由⊆[3,10]
得，解得3≤a≤31，
故3<a≤31；
③当a<3时，在区间[3,10]上，有g(x)＝3＋<3，不合题意．
综上所述，实数a的取值范围是[3,31]．
(3)因为h(x)＝x³－3x，
所以h′(x)＝3x²－3＝3(x＋1)(x－1)．
因为当x<－1或x>1时，h′(x)>0；
当x＝－1或x＝1时，h′(x)＝0；
当－1<x<1时，h′(x)<0，
所以函数h(x)在区间(－∞，－1)上单调递增，在区间(－1,1)上单调递减，在区间(1，＋∞)上单调递增．
从而h(x)在x＝－1处取得极大值2，在x＝1处取得极小值－2.
由题意知
即
解得
因为a<b，所以－2≤a≤0,0≤b≤2.
又a，b∈Z，故a只可能取－2，－1,0，b只可能取0,1,2.
①当a＝－2时，因为b>0，故由h(－1)＝2得b≥2，因此b＝2.经检验，a＝－2，b＝2符合题意；
②当a＝－1时，由h(－1)＝2，得b＝2，此时h(1)＝－2∉[－1,2]，不符合题意；
③当a＝0时，显然不符合题意．
综上所述，a＝－2，b＝2.