Question

18．已知函数f（x）=$\frac{{x}^{n}-{x}^{-n}}{{x}^{n}+{x}^{-n}}$，x为正实数．n为非零有理数．
（1）判断f（x）在（0，+∞）上是增函数还是减函数．并证明你的结论；
（2）当n∈N^*时，比较f（$\sqrt{2}$）与$\frac{{n}^{2}-1}{{n}^{2}+1}$的大小，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）可将原函数变成$f（x）=1-\frac{2}{{x}^{2n}+1}$，可看出n＞0时，f（x）为增函数，n＜0，f（x）为减函数，根据单调性的定义，设任意的x₁＞x₂＞0，然后作差，通分，讨论n的符号，从而判断出f（x₁），f（x₂）的大小关系，从而得出其单调性；
（2）求出$f（\sqrt{2}）=1-\frac{2}{{2}^{n}+1}$，分离常数得到$\frac{{n}^{2}-1}{{n}^{2}+1}=1-\frac{2}{{n}^{2}+1}$，可作差比较这两个式子的大小：$f（\sqrt{2}）-\frac{{n}^{2}-1}{{n}^{2}+1}=\frac{2（{2}^{n}-{n}^{2}）}{（{n}^{2}+1）（{2}^{n}+1）}$，这样问题便归结到比较2ⁿ和n²的小，可让n从1取到5，而会发现从5开始，2ⁿ＞n²，这可从增长速度上得出．

解答 解：（1）$f（x）=\frac{{x}^{2n}-1}{{x}^{2n}+1}=1-\frac{2}{{x}^{2n}+1}$，n＞0时，x增大，x²ⁿ增大，f（x）增大，∴f（x）为增函数，同样n＜0时，f（x）为减函数，证明如下：
设x₁＞x₂＞0，则：
$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）=\frac{2}{{{x}_{2}}^{2n}+1}-\frac{2}{{{x}_{1}}^{2n}+1}$=$\frac{2（{{x}_{1}}^{2n}-{{x}_{2}}^{2n}）}{（{{x}_{1}}^{2n}+1）（{{x}_{2}}^{2n}+1）}$；
∴①n＞0时，∵x₁＞x₂＞0；
∴${{x}_{1}}^{2n}＞{{x}_{2}}^{2n}$；
∴${{x}_{1}}^{2n}-{{x}_{2}}^{2n}＞0$，且${{x}_{1}}^{2n}＞0，{{x}_{2}}^{2n}＞0$；
∴f（x₁）＞f（x₂）；
∴f（x）为增函数；
②n＜0时，${{x}_{1}}^{2n}＜{{x}_{2}}^{2n}$；
∴${{x}_{1}}^{2n}-{{x}_{2}}^{2n}＜0$，且${{x}_{1}}^{2n}＞0，{{x}_{2}}^{2n}＞0$；
∴f（x₁）＜f（x₂）；
∴f（x）为减函数；
（2）$\frac{{n}^{2}-1}{{n}^{2}+1}=1-\frac{2}{{n}^{2}+1}$，$f（\sqrt{2}）=1-\frac{2}{{2}^{n}+1}$；
∴$f（\sqrt{2}）-\frac{{n}^{2}-1}{{n}^{2}+1}=\frac{2}{{n}^{2}+1}-\frac{2}{{2}^{n}+1}$=$\frac{2（{2}^{n}-{n}^{2}）}{（{n}^{2}+1）（{2}^{n}+1）}$；
∴只需比较2ⁿ和n²的大小：
当n=1时，2¹＞1²；
当n=2时，2²=2²，当n=4时，2⁴=4²；
当n=3时，2³＜3²；
当n=5时，2⁵＞5²；
由于指数函数的增长速度大于二次函数的增长速度，所以：当n≥5时，2ⁿ＞n²，即$f（\sqrt{2}）＞\frac{{n}^{2}-1}{{n}^{2}+1}$．

点评 考查分离常数法的运用，函数单调性的定义，幂函数的单调性，以及根据单调性定义证明一个函数单调性的方法和过程，作差的方法比较f（x₁）与f（x₂），作差之后，是分式的一般要通分，指数函数的增长速度和二次函数的增长速度的比较．